“Elkaar begrijpen begint met praten over hetzelfde”.

Gisteren besprak ik de eerste stap richting een meer constructief debat over reken- en wiskundeonderwijs: eenduidig jargon. Vandaag een toelichting daarop met een aantal concrete voorbeelden. Met name de termen ‘context’, ‘verhaaltjessommen’ en ‘realistisch’ kennen de meest uiteenlopende invullingen. Onderstaande voorbeelden laten zien dat het zinvol is om in de discussie een onderscheid te maken over welk soort contexten men praat. En om in zijn algemeenheid preciezer het gebruikelijke jargon te gebruiken.

Het spel tussen werkelijkheid en abstractie hoort bij wiskunde en dus ook bij rekenen. Op allerlei niveaus. Zo is er een wisselwerking tussen toegepaste wiskunde en zuivere wiskunde. De werkelijkheid kan aanleiding zijn tot het ontwikkelen van wiskundige theorie en andersom kan deze ook vele nieuwe toepassingen krijgen in de werkelijkheid. Maar ook biedt een context de mogelijkheid het abstracte denken minder abstract te maken.

In het onderwijs kun je dus niet zomaar alle soorten contexten op één hoop gooien en er in algemeenheid over spreken. Contexten komen op verschillende plekken in het leerproces voor en ze dienen verschillende doelen. Hieronder een selectie van voorbeelden. Het is daarbij vooral interessant om onderscheid te maken tussen contexten bij de start van het leren en contexten die passen bij het einde van het leerproces.

Contexten aan het begin van het leerproces

Benoemde getallen

Het rekenen met benoemde getallen zou je context kunnen noemen. Heel kort door de bocht is een benoemd getal een getal met een maat, een eenheid. Zo’n eenheid (zoals cm, euro of aantal)  kan een leerling ondersteunen in het rekenen. Bijvoorbeeld in dit geval:

2,3 cm + 4,5 cm = …… cm

Voor een volledig geoefende rekenaar hebben deze eenheden weinig betekenis meer voor het rekenen zelf. Maar voor een leerling die nog moeite heeft met de kommagetallen, kan deze eenheid van steun zijn. Hij of zij kan immers terugvallen op de liniaal en direct ‘zien’ dat het hier gaat om 23 mm + 45 mm = 68 mm = 6,8 cm. Zijn of haar kennis van het metriek stelsel kan hier dus het aanvankelijk rekenen met kommagetallen ondersteunen. Ook het rekenen met geld is zo’n context die het rekenen met kommagetallen kan ondersteunen.

Emergent modelleren

Contexten spelen een belangrijke rol  in de theorie van het realistisch reken-wiskunde onderwijs (afgekort RME). Om dit te begrijpen is het theoretisch model van ermergent modelleren inzichtelijk. In dit model begint het leren in ‘contexten’ die voor leerlingen voorstelbaar zijn. Leer je vermenigvuldigen dan kan bijvoorbeeld de context van een aantal bakken met daarin een vast aantal appels per bak zijn. Zulke contexten spreken leerlingen aan op hun informele kennis. Tegelijkertijd is de context zo gekozen dat deze ook de wiskundige structuur waarnaar wordt gestreefd in zich draagt. In dit geval sluit de context aan bij vermenigvuldigen als ‘herhaald optellen’. Vanuit deze context ontwikkelen zich modellen. Deze modellen beschrijven wat er in die context gebeurt. Ze zijn ‘modellen van’ die context. In dit geval kan dat model het tekenen van cirkels in plaats van appels zijn. Deze modellen ontwikkelen zich langzaam naar ‘modellen voor’ wiskundig redeneren, totdat leerlingen uiteindelijk op ‘formeel’ niveau kunnen rekenen zonder de hulp van deze contexten en modellen. Zo’n ‘model voor’ kan in dit geval een rechthoeksmodel zijn. Dat is een rechthoek met een onderverdeling in gelijke vakjes. Je kunt dat model om te redeneren over bijvoorbeeld 4 x 23 = 4 x 20 + 4 x 3.

De serie van ‘context’, ‘model van’, ‘model voor’, en ‘formeel’ is wat emergent modelleren wordt genoemd. Deze RME-contexten laten zich niet zozeer in een enkele som beschrijven, maar vormen een situatie waarin het rekenen begint. (Vgl met het handelingsmodel ERWD)

Contexten aan het einde van het leerproces

Redactiesommen

Dit zijn sommen die traditioneel ook wel de naam verhaaltjessommen hebben. Het zijn korte teksten waar de juiste berekening bij moet worden gekozen. Het aantal rekenstappen is daarbij beperkt:

In een vat zit 80 liter. Sem schept het vat leeg met een emmer van 5 liter. Hoe vaak moet hij zijn emmer vullen om het vat leeg te maken?

De redactiesom kent een lange traditie en zou je kunnen zien als onderdeel van traditionele rekendidactiek.

Toepassing in andere vakgebieden

Toepassingen komen in vele soorten en maten. Wiskunde is een instrument dat in vele andere disciplines wordt gebruikt. Bijvoorbeeld in dit fragment uit een van mijn oude studieboeken:

fragment uit: Inleiding mechanica (R.Roest)

Wiskunde is hier een taal en een hulpmiddel. In de wiskundeles zelf wordt ook de link met dergelijke toepassingen gelegd. Voorbeelden daarvan vind je bijvoorbeeld in de wiskunde examens. (Vgl met de fase ‘flexibel toepassen’ binnen het hoofdfasenmodel ERWD)

Modelleren en probleemoplossen

Toegepaste wiskunde ligt meer op het gebied van bijvoorbeeld modelleren of probleemoplossen. Hierbij wordt een vraagstuk uit de werkelijkheid omgezet naar een wiskundig model waaraan gerekend kan worden. Deze uitkomst wordt daarna terugvertaald naar de werkelijkheid. In het onderwijs vind je dit echte modelleren nog niet zo veel terug. In opgaven worden wel wiskundige modellen gebruikt, zoals voor lineair programmeren. Maar leerlingen hebben vaak niet de volledige vrijheid een model te bedenken bij een gegeven vraag. Bij dergelijke opgaven is er dan dus nog steeds een vast (goed) antwoord waar de leerlingen naartoe rekenen. Het wordt veel vrijer bij bijvoorbeeld opgaven van de wiskunde alympiade. Ook projecten van ‘wiskunde en industrie‘ geven inzicht in wat de toepassing van wiskunde kan beteken. Je zou het hier kunnen hebben over authentieke contexten.

De puzzel

Een geheel eigen soort is de puzzel. Ik zou het een genre op zich noemen. De context, het verhaal, is hier de drager van de wiskundige structuur waarmee je gaat puzzelen. Deze moet wiskundig goed gekozen zijn, maar bij een goede puzzel komt ook humor om de hoek kijken. De context zelf hoeft daarom geen waarheidsgehalte te hebben. Dat is bijvoorbeeld te zien in de volgende twee voorbeelden die ik tegenkwam, met een vergelijkbare wiskundige structuur.

Een leeuw doet er vier uur over om een schaap te verorberen; een luipaard doet daar 5 uur over; en een beer doet er 6 uur over. Nu is de vraag, als men ze een enkel schaap zou toegooien, hoeveel uur zouden ze er dan over doen om het te verslinden?

Bron: David Wells – Merkwaardige en interessante puzzels.

En

Boven een badkuip zitten drie verschillende kranen, A, B en C. Draait men kraan A en B open dan is de badkuip in precies 4 minuten vol. De kranen A en C vullen de badkuip samen in precies 5 minuten, terwijl de kranen B en C dat in precies 6 minuten doen. In hoeveel minuten is het bad vol als de drie kranen tegelijk worden opengedraaid?

Bron: De Nederlandse Wiskunde Olympiade, 100 opgaven met hints, oplossingen en achtergronden.

Deze post is onderdeel van de serie ‘rekendiscussie 2.0’:

Intro
Stap 1 – eenduidig jargon
Stap 2 – op de bal
Stap 3 – visie op wiskunde
Stap 4 – multi-geëncultureerd
Stap 5 – doelen als startpunt
Stap 6 – niet één beste . . .
Stap 7 – relatie tussen theorie en praktijk
Stap 8 – rol voor de media

Wil je meer lezen over de achtergronden, dan kun je dat vinden in deze posts:

Achtergrond stap 1: de ene context is de andere niet
Achtergrond stap 3: de gezichten van wiskunde
Achtergrond stap 5: kunnen en begrijpen