Begrijpen van de basis (deel 5)

Op de NRCD 2024 had ik de eer de openingslezing te mogen verzorgen. In deze serie blogberichten kun je de lezing nog eens nalezen.

Dan komen we nu bij de laatste van de vier blikwisselingen die ik met jullie wil delen.

BLIKWISSEL 4:
Van het ingezoomde detail
naar het complete plaatje.

Ik denk dat het belangrijk is om vaker naar het grotere plaatje te kijken. Bij deze blikwissel passen mijn pleidooien voor het denken in lange doorlopende lijnen. Vandaag wil ik een ander voorbeeld bespreken waarbij dat bredere perspectief en denken in het complete plaatje te weinig gebeurt.

Ik wil het vandaag hebben over het gebruik van modellen zoals de verhoudingstabel. Het is heel natuurlijk om in het reken- en ook wiskundeonderwijs contexten en modellen te gebruiken. Dit maakt immers wiskundige onderwerpen laagdrempeliger. Een geschikt raamwerk dat je helpt om het gebruik van contexten en modellen effectief in te zetten is emergent modelleren. In deze didactische uitlijning start je bij een geschikte context, waaruit een model van die gekozen situatie ontstaat. Dit model evolueert naar een model voor wiskundig redeneren. Tot slot kan dit model worden losgelaten en kan er zonder hulp op een formeel niveau gerekend worden.

Dat betekent dat het gebruik van een context of een model in een zorgvuldig uitgelijnde didactische opbouw past. Je kunt dit soort contexten en modellen dan ook niet los van elkaar zien; ze zijn onderdeel van een langere didactische leerlijn. (NB: de ene context is de andere niet). In een analyse kun je bijvoorbeeld niet zomaar geïsoleerde opgaven gebruiken om te onderzoeken of een context in een opgave leerlingen ondersteunt bij het rekenen. Het betekent mijns inziens ook dat het introduceren van een model zonder begrip en voortraject veel minder effectief. Ook laat emergent modelleren zien dat een model in beginsel niet bedoeld is om voor altijd gebruikt te worden.

Hoewel er in de basis niets mis is met de verhoudingstabel zie ik nu in het gebruik te vaak een dogmatische aanpak. De verhoudingstabel op de rekenkaart van de coöperatie examens mbo (CEM) is daar wat mij betreft een illustratie van (zie plaatje hierboven links). Het illustreert het stappenplan dat bij het rekenen met verhoudingen als dominante strategie aan leerlingen wordt aangeboden: eerst terugrekenen naar de 1 en dan naar het gewenste aantal rekenen. Op deze manier is de verhoudingstabel niets meer of minder dan een visuele reminder voor een te volgen stappenplan. Het is net zoals de vlinder voor het optellen van breuken, waar ik wel vaker over spreek (plaatje rechts). En dat is jammer, want het rekenen met verhoudingen kan met zoveel meer begrip en zoveel krachtiger.

Het volgende voorbeeld laat zien dat er veel meer bij het rekenen met verhoudingen komt kijken. We beginnen met een vergroting van een plaatje. Zeg dat de vergroting 2 keer zo groot is als het origineel.

Dat betekent dat alle afmetingen in het beeld twee keer zo groot zijn. De hoogte, de breedte, maar bijvoorbeeld ook de streep op de rug van de kever. In de verhoudingstabel zie je de getallen op de onderste regel 2 keer zo groot zijn als de getallen op de bovenste regel. Er is dus een vaste factor van 2 tussen de twee rijen. Je kunt dit aangeven met een verticale pijl.

Bij verhoudingssituaties heb je altijd te maken met twee verhoudingen: een interne en externe verhouding (1). Ook hier. In dit voorbeeld is dat de verhouding tussen de plaatjes (factor 2) én de verhouding tussen twee afstanden in het plaatje. Die verhouding is immer voor het origineel én het beeld gelijk. Zo is de hoogte 1,2 keer zo groot als de breedte. In de verhoudingstabel hoort dit bij de horizontale pijlen zoals we ze meestal kennen. Hoewel in dit voorbeeld maar één pijl wordt gebruikt en geen tussenstap via de 1.

Een van de problemen die leerlingen hebben met het gebruik van de verhoudingstabel is dat ze niet zo goed weten welke labels ze in de eerste kolom van de verhoudingstabel moeten zetten. De geoefende rekenaar kan dit een rare vraag vinden: voor hem of haar is vanzelfsprekend wat daar moet komen te staan. Toch is het is niet zo gek als leerlingen hierover twijfelen Doordat er altijd twee verhoudingen zijn, zou je de tabel als het ware ook kunnen kantelen. Dan krijg je bijvoorbeeld de volgende tabel, waarbij je naar de breedte-hoogte verhoudingen kijkt van een reeks vergrotingen en verkleiningen:

Hoe meer ik me in het gebruik van de verhoudingstabel in de dagelijkse schoolpraktijk verdiep, hoe meer ik begin te vermoeden dat dit gebruik van de verhoudingstabel eerder een hinderpaal dan een hulpmiddel is. Ik zou er daarom voor willen pleiten om, als je de verhoudingstabel gebruikt, dit als een hulpmiddel te gebruiken in een netje uitgelijnde modelleerlijn en niet als een doel op zich. Uiteraard zijn er ook andere modellen te gebruiken waar de genoemde bezwaren minder aan kleven. In officiële curriculumdocumenten zou dit van mij nog meer een aandachtspunt mogen zijn.


Referenties
(1) Bruin-Muurling, G. (2024). Mijn vakdidactiek rekenen(-wiskunde). Van Gorcum.


Halverwege in de serie gevallen? Begin dan bij deel 1.

Contact

Heb je vragen? Stuur dan een mail naar info@bruin-muurling.nl.