40 keersommen in 2 minuten & maximaal 2 fout. Het was de kern van een van de verschillende verhalen over rekenen onder tijdsdruk die deze week op mijn pad kwam. Tijd voor een nieuwe blog over ‘rekenen op snelheid’.
Als je mijn werk al wat langer kent, dan weet je dat ik fundamentele bezwaren heb bij het paradigma van Evidence Based Education (EBE). Een daarvan is dat ik denk dat je onderwijs niet kunt bestuderen alsof het een natuurwetenschap is. Maar als je dan toch vanuit zo’n perspectief aan het meten gaat, dan is het goed om wél de lessen mee te nemen die een natuurwetenschappelijke bril ons geeft. In dit geval lijken de volgende inzichten me relevant:
1. Een meting mag zelf het meetresultaat nooit beïnvloeden. En al helemaal geen nadelige effect hebben.
2. De meting moet je een goede indruk geven van het te meten fenomeen, waarbij het nooit doel op zichzelf mag worden.
Denk bij het eerste bijvoorbeeld aan het meten van het afkoelen van een vloeistof in aan afgesloten beker. Dan moet je de beker niet telkens openen om er een thermometer in te zetten. Bij het tweede kun je denken aan Dieselgate. hier was de meting geen instrument meer om een indicatie te geven van de milieuprestaties, maar een doel waarop de auto werd afgesteld.
Terug naar de aanleiding voor deze blog: gisteren sprak ik een moeder van een meisje uit groep 4. De tafeltesten op school (40 keersommen in 2 minuten) geven haar dochter zoveel stress dat ze met haar handen in het haar zit. Ze is met haar zorgen op school gaan praten, maar de juf geeft aan dat het niet anders kan: dit staat nu eenmaal zo in de methode. Ze moet de testen net zolang aanbieden tot haar dochter ze heeft gehaald.
Het is zoals gezegd niet het enige gesprek dat deze week over de tijdsdruk bij rekenvaardigheidstoetsen in het basisonderwijs gaat. Afgelopen week begeleidde ik op een bijeenkomst van regionale rekennetwerken, een werkgroep waarin een aantal rekencoördinatoren in discussie ging over de nieuwe kerndoelen. Deze docenten gaven aan zich zorgen te maken over het grote aantal testen waarin op snelheid gewerkt moet worden. En ook zij merken dat de tijdscomponent bij een deel van hun leerlingen de meting van hun rekenvaardigheden onbetrouwbaar maakt. Zo beschrijven leerlingen die in de klas en zonder de tijdsdruk prima blijken te kunnen rekenen, maar dichtslaan op het moment dat de ‘stopwatch’ in beeld komt.
Voor ik verder inga op de tijdscomponent lijkt het me goed eerst een stapje achteruit te zetten: wát wil je in beeld brengen met metingen als deze?
Over wat belangrijk is bij het leren van de tafels van vermenigvuldiging bestaan heel verschillende ideeën. Een gemeenschappelijke component in al die visies is dat leerlingen deze keersommen uiteindelijk foutloos en ‘moeiteloos’ moeten kennen. De reden is helder: de keersommen uit de tafels gebruik je met regelmaat. Los, maar juist ook als tussenstap in complexere berekeningen, zoals optellen van niet gelijknamige breuken en cijferend vermenigvuldigen van grote getallen. Het spreekt voor zich dat je de tafels daarvoor foutloos moet kennen. Daarnaast is ook moeiteloos van belang; het is immers niet de bedoeling dat er teveel energie en aandacht gaat naar het uitrekenen van de tussenstappen, waardoor het grote plaatje van de complexere berekening uit beeld verdwijnt.
Foutloos en moeiteloos zijn overigens niet de enige doelen die aan het leren van de tafels verbonden zijn. Zo spelen hier ook nog een aantal onderliggende concepten die een fundament vormen voor onderwerpen later in de doorgaande leerlijn. Denk aan het stevig verankeren van begrip van de relatie tussen vermenigvuldigen en delen of de distributieve eigenschap waarmee leerlingen bij het rekenen met de tafels voor het eerst kennis maken. Beide concepten kom je met regelmaat tegen in het rekenen-wiskunde en later ook in de wiskundeles en andere bètavakken. Denk hier aan het rekenen met breuken of met grote getallen, aan de algebra of het rekenen met verhoudingen en samengestelde grootheden. Juist op het punt van aandacht voor deze conceptuele doelen verschillen visies op het leren van de tafels.
Terug naar de rekenfeiten. Hierbij wordt meestal onderscheid gemaakt tussen automatiseren en memoriseren. Hier is ook weer een verschil tussen visies op rekenen. Vanuit het leren met begrip wordt aangeraden eerst te begrijpen wat vermenigvuldigen is, en dan pas te automatiseren gevolgd door memoriseren. Bij een focus op enkel rekenfeiten worden deze stappen niet altijd allemaal gemaakt. De vertaling van de notie van ‘moeiteloos’ naar ‘vlot en zonder rekenen het antwoord als een feit uit je geheugen halen’ vind je in de stap van het memoriseren. Bij deze vertaling past het idee dat je kunt én moet toetsen of een grote hoeveelheid van deze sommen in korte tijd foutloos gemaakt kan worden. Juist bij die vertaling (of operationalisatie) zijn verschillende kanttekeningen te plaatsen.
Kanttekening 1: Zijn moeiteloos en snel wel precies hetzelfde? Voor dit punt moet ik iets over mijn eigen tafelkennis bekennen. Ik heb wiskunde gestudeerd en er is weinig mis met mijn rekenvaardigheden: ik kan vloeiend rekenen zonder rekenmachine, en daarbij word ik op geen enkele manier gehinderd door onnodige cognitieve belasting bij het uitrekenen van keersommen als tussenstap van complexere berekeningen. Ofwel: het gaat allemaal foutloos én moeiteloos. Toch zijn mijn tafels niet volledig gememoriseerd. De uitkomsten van 6 x 7 en 7 x 8 zijn voor mij maar slechts gedeeltelijk een rekenfeit. Ik ken ze wel uit mijn hoofd, maar ik reken ik ze toch nog even voor de zekerheid na, omdat ik mezelf hierin niet vertrouw. Dit alles gaat bijzonder vlot, maar wel langzamer dan de gememoriseerde rekenfeiten. Je zou kunnen zeggen: ze zijn geautomatiseerd, maar niet gememoriseerd. Het hoeft dus niet altijd snel te zijn als het wel moeiteloos is. Ik denk daarom dat het goed is om het belang van 40 sommen in 2 minuten te relativeren. Waarmee ik niet zeg dat het niet belangrijk is dat leerlingen de tafels kennen.
Kanttekening 2: Hoe betrouwbaar is deze meting en meet je wat je denkt te meten? Als leerlingen dit soort rijtjes in korte tijd moeten maken meet je meer dan alleen de beheersing van het rekenfeit. Er zijn allerlei redeneren waardoor sommige leerlingen langzamer zijn dan de 20-sommen-per-minuut-normen die vaak gehanteerd worden. Een paar voorbeelden. Je meet kort door de bocht gezegd ook de snelheid van het input en output kanaal. Voor sommige leerlingen kost het gewoon meer moeite om wat ze lezen te verwerken of om hun motoriek aan te sturen. Het vertalen van het antwoord naar een schrijfbeweging of aansturing van je spraakspieren kost bij hen meer tijd. Sommige leerlingen hebben een karakter waardoor ze twijfelen aan hun antwoorden en het voor de zekerheid ook nog even narekenen voordat ze het opschrijven. Of ze denken dat het uitrekenen de bedoeling is. Zo haalde een leerling zijn tafeldiploma pas toen hij door had dat hij mocht ‘valsspelen’. Dat valsspelen was in zijn hoofd het antwoord direct opschrijven en niet eerst uitrekenen. Van een andere orde, maar ook van invloed op de betrouwbaarheid, is dat alleen al het introduceren van tijdsdruk ervoor kan zorgen dat kinderen verlammen. Ze worden hierdoor veel langzamer dan ze zonder die tijdsdruk zouden zijn. Ook daar hoorde ik weer een mooi voorbeeld van. Een leerling raakte in paniek toen zijn rekenbegeleider een stopwatch te voorschijn haalde. Toen deze de stopwatch snel wegstopte en hem vroeg om vandaag lekker door te werken, bleek deze leerlingen de sommen ruim binnen de eerder gestelde tijd te kunnen maken. Het meten van met tempotoetsen geeft dus zeker niet altijd een betrouwbaar beeld van hoe moeiteloos de leerling zijn tafels kent. Daardoor loop je het reële risico leerlingen verkeerd in te schatten.
Kanttekening 3: Tempotoetsen zijn niet zonder bij-effecten. Veel op tempo testen van het rekenen heeft verschillende nadelen. De eerste is misschien wel dat de leerlingen die het tempo van 3 seconden per som niet halen, het gevoel hebben te ‘falen’. Ze kunnen daardoor gaan denken dat ze niet goed zijn in rekenen-wiskunde. We weten dat alleen al het beeld van jezelf hebben als een ‘niet-wiskunde’ persoon slecht is voor je verdere rekenontwikkeling. Je plant hier dus al een zaadje voor rekenangst en gebrek aan zelfvertrouwen op het rekenvlak. Bovendien schets je een heel verkeerd beeld van waar het bij wiskunde om gaat. Veelvuldig op tempo toetsen geeft een beeld dat goed in rekenen-wiskunde zijn, betekent dat je de snelste moet zijn en niets moet opschrijven. Op de langere termijn hindert dit beeld leerlingen als er andere dingen van ze worden verwacht op wiskundig gebied zoals het maken van complexere opgaven waarvoor meerdere rekenstappen nodig zijn, het opschrijven van je berekening of probleemoplossen. Tot slot lijken de meer conceptuele doelen die horen bij het leren van de tafels ondergesneeuwd te raken in de grote focus op de rekenfeiten. En ook dat heeft weer allerlei negatieve gevolgen voor de doorlopende leerlijn.
Samengevat is het de vraag of het op tempo tafels toetsen 1. het fenomeen meten wat je wilt meten 2. een betrouwbare meting opleveren én 3. niet te veel negatieve bij-effecten hebben. De meting beïnvloedt hier voor in ieder geval een deel van de leerlingen het resultaat én de tempo-tafel-toetsen lijken inmiddels een doel op zich geworden. Zoals gezegd zijn dit allemaal tekenen waarbij we in natuurwetenschappelijke experimenten gaan twijfelen over de gekozen meetmethode.
En dat terwijl het ook heel anders kan. Als je goed naar leerlingen kijkt dan is het moeiteloos rekenen óók een merkbaar doel. Je hoeft het dus niet altijd meetbaar te maken om te weten dat het goed zit. Maar het gaat niet alleen om het testen zelf. Ook om het oefenen dat net zoals het testen op tempo wordt gedaan. Ook het moeiteloos leren rekenen kan op hele andere manieren dan met ‘stamp’ methodes die vaak gebruikt worden. Voor een deel van de leerlingen zal een meer cognitieve aanpak, waarbij er ook aandacht is voor het begrijpen, veel beter aanslaan. Je kunt dan bijvoorbeeld gaan spelen met getallen en de leerlingen allerlei patronen laten ontdekken in de tafels. Een mooi voorbeeld daarvan is de tafel van 9. Een makkelijke manier om daar naar te kijken is als ‘één minder dan 10’. Bijvoorbeeld:
7 x 9 = 7 x 10 – 7.
Maar je kunt de tafel ook bekijken als het herhaald optellen. Als je ergens 9 bij optelt, dan wordt het tiental 1 groter en de eenheid 1 kleiner (behalve als je bij een tiental was, zoals 90 of 270, dan komen er 9 eenheden bij). Dat betekent dat de som van de cijfers in de tafels tot en met 10 x 9 telkens 9 is: 9, 1+8, 2+7 etc. Je kunt zelfs bewijzen dat de som van de cijfers van elk getal dat deelbaar is door 9, zelf ook deelbaar is door 9. En dat geldt ook andersom. Is de som van de cijfers deelbaar door 9, dan is het hele getal dat ook.
Voor een ander deel van de leerling is het juist belangrijk om de keersommen veel tegen te komen en op die manier te oefenen. Ze hebben het daarbij nodig om in eigen tempo steeds meer naar het memoriseren over te gaan. Gezelschapspellen zijn hiervoor héél geschikt. Bijvoorbeeld het spel regenwormen. Tijdens het spel moet je telkens je score uitrekenen, maar ook bij het bedenken of je nog door wilt dobbelen maak je allerlei berekeningen. Thuis, krijgt het rekenen door het spelen van zo’n spel in een ongedwongen sfeer een heel andere lading.
Ik hoop dat deze blog helpt het belang van tempotoetsen te relativeren. Ik hoop dat er meer oog komt voor wat je daarmee wel kunt bereiken en vooral ook wat niet. Ik hoop dat er meer oog komt voor de negatieve effecten en dat er meer ruimte ontstaat voor andere manieren waarop je leerlingen moeiteloos met de tafels kunt leren rekenen, zonder de stress van een klok. En ook hier geldt weer dat het ontzettend belangrijk is om naar de leerlingen te kijken, en je onderwijs af te stemmen op de context.