Op 25 september organiseerde Delta Scholengroep voor haar docenten de eerste van 4 bijzondere studiedagen: Delta leert. In deze blogserie vind je het verslag van mijn keynote op deze eerste studiedag.

Verschillen in standpunt

Aan de hand van twee voorbeelden wil ik laten zien hoe de verschillende beelden van invloed hebben op je interpretatie van situaties en je keuzes. Die invloed geldt dus ook voor de verschillende doelen die je voor ogen hebt.

Voor de eerste voorbeeld gebruik ik een conclusie uit de afscheidsrede van Hans van Luit¹. Hij laat daarin twee formuleringen van opgaven zien die slechts op een onderdeel verschillen:

Van Luit heeft onderzocht dat de formulering van opgave B als veel eenvoudiger wordt ervaren. Hij zegt: “Het vervelende is dat in methoden en toetsen veel meer opgaven van het type A staan dan van het type B, terwijl de gevraagde rekenvaardigheid vergelijkbaar is. Het kan dus anders, als de wil bij methode- en toetsontwikkelaars maar aanwezig is.”

Vanuit het perspectief van Hans van Luit, met zijn aandacht voor leerlingen voor wie het rekenen niet vanzelfsprekend is, is dit een logische conclusie. Vanuit mijn perspectief als vakdidacticus kijk ik toch weer anders naar dit voorbeeld. De twee formuleringen zijn namelijk twee standpunten van waaruit je naar het prijsverschil kunt kijken. Je kunt vanuit de Albert Heijn zeggen dat de prijs 2 euro minder is dan bij de Spar, en vanuit de Spar dat de prijs 2 euro duurder is. Je koppelt met deze twee opgaven heel mooi die twee standpunten aan elkaar en kunt daarmee laten zien hoe + en – zich tot elkaar verhouden. Die relatie tussen optellen en aftrekken is een belangrijk inzicht; wat zijn tegengestelde bewerkingen en hoe werkt dat?
Vanuit dit oogpunt, waarbij je wilt dat leerlingen leren flexibel tussen de perspectieven te schakelen, wil je juist dat leerlingen oefenen met het moeilijkere perspectief. Zo zie je dat twee verschillende uitgangspunten om naar een bepaalde rekenpraktijk te kijken tot twee verschillende conclusies kunnen leiden.

Een ander voorbeeld is dat van het leren van de tafels van vermenigvuldiging. Ik schreef daar al eerder over. Dat leerlingen de tafels vlot en goed moeten kennen is aan algemeen geaccepteerd doel. In de praktijk wordt er regelmatig een toets op tijd gebruikt om te meten of de leerlingen die doel hebben behaald. Dergelijke toetsen komen neer op zo’n 20 sommen per minuut, ofwel 3 seconden per som. Nu zijn daar allerlei problemen met deze manier van meten, zowel in betrouwbaarheid van de meting als in effect op een deel van de leerlingen. Vandaag wil ik het echter hebben over een ander perspectief. In de vakdidactiek wordt er veel breder naar het leren van de tafels gekeken. Als de leerlingen aan de slag gaan met de tafels is dat tevens het moment dat het vermenigvuldigen geleerd wordt. Dat betekent dat ze betekenissen van vermenigvuldigen moeten leren. In eerste instantie is dat het ‘herhaald optellen’. Dat laat zich wat later vertalen naar een oppervlakte begrip van in een rechthoek gesorteerde objecten. Later wordt het vermenigvuldigen veel algemener aan ‘oppervlakte’ gekoppeld. Uiteindelijk zullen leerlingen daar als ze breuken leren ook nog de betekenis van ‘een deel van’ aan koppelen. De relatie tussen vermenigvuldigen en delen is een tweede aspect dat bij het leren vermenigvuldigen belangrijk is. Tot slot zijn er nog een aantal eigenschappen van vermenigvuldigen die bij het leren van de tafels al informeel aan bod kunnen komen en waar leerlingen later in de leerlijn op voort zullen bouwen:

• Commutatieve eigenschap
  7 × 4 = 4 × 7
• Distributieve eigenschap
  5 × 12 = 5 × 10 + 5 × 2
• Associatieve eigenschap
  5 × 12 = 5 × (2 × 6) = (5 × 2) × 6 = 10 × 6

Zoals genoemd spelen deze inzichten en eigenschappen later in de doorlopende leerlijn weer een rol, die al kan starten bij het leren van de tafels. Als voorbeeld wil ik de distributieve eigenschap verder uitwerken. Op de middelbare school gebruiken leerlingen deze eigenschap bij het wegwerken van haakjes: a × (b+c) = a × b + a × c. Voor leerlingen kun je dit aan laten sluiten bij het handig rekenen dat ze op de basisschool hebben geleerd: 5 × 12 = 5 × 10 + 5 × 2 of zelfs met aftrekken 29 × 9 = 30 × 9 – 1 × 9. Wil je dat leerlingen dit handig rekenen baseren op begrip dan begint dat al bij het leren van de tafels: je kunt daarbij eenvoudig laten zien dat als je 4 groepjes van 7 hebt, en je voegt daar nog 2 groepje van 7 aan toe, je in totaal 6 groepjes van 7 hebt. Weer verderop in de leerlijn gebruik je deze eigenschappen bij het cijferend vermenigvuldigen waar je getallen splitst in eenheden, tientallen etc. En ook bij het rekenen met samengestelde breuken komt dit terug als je leert dat je 3 × 4 1/2 uit kunt rekenen als 3 × 4 + 3 × 1/2.

Bij het leren van de tafels zijn er meer doelen dan het memoriseren van rekenfeiten. Ook bij de hier genoemde verwante doelen wil je dat leerlingen het werken ermee geautomatiseerd hebben. Het gaat dan vooral om het moeiteloos en correct gebruiken daarvan. De snelheid speelt daarbij geen rol. Er is een verschil in aanpak als je je alleen of vooral focust op het memoriseren van de rekenfeiten of als je de brede set van doelen nastreeft zoals die hier zijn genoemd.

Referenties

¹ Van Luit 2019. Verwonderd overdenken: hoe moeilijk kan rekenen zijn.

Deze post is onderdeel van een serie.