Op 25 september organiseerde Delta Scholengroep voor haar docenten de eerste van 4 bijzondere studiedagen: Delta leert. In deze blogserie vind je het verslag van mijn keynote op deze eerste studiedag.

Lange doorlopende leerlijnen

De distributieve eigenschap (ook in informele vorm) is een concept dat je op veel punten in de leerlijn tegenkomt. Zo zijn er vele concepten waarvoor je de basis al legt in de (onderbouw van) het basisonderwijs en die later een rol blijven spelen. We noemen ze daarom ook wel big ideas.

Nog zo’n voorbeeld is het = teken. Dit wiskundige symbool is een voorbeeld van ambiguïteit. In de vakliteratuur zeggen we dat het = teken twee betekenissen heeft: een procedurele én een relationele. Bij de procedurele betekenis kun je denken aan het = teken op je rekenmachine. Je typt een som in en met de = geef je de opdracht om die uit te rekenen. Zo is dat in eerste instantie ook voor de meeste leerlingen. Bij deze interpretatie van het = teken lees je vooral van links naar rechts.
Bij de relationele betekenis past beter het beeld van een weegschaal. Aan de linker- én rechterkant van het = teken staat evenveel. Die betekenis past bijvoorbeeld bij 3 + 5 = 4 + 4. Niet alle leerlingen ontwikkelen deze betekenis. Dat merk je in de brugklas bijvoorbeeld bij het breien. Leerlingen rekenen dan als het ware door: 3 + 5 = 8 + 2 = 10. Omdat 3+5 en 10 niet evenveel zijn, klopt het gebruik van het = teken hier niet. Veel wiskundeleraren rekenen hier extra aftrekpunten voor. Ook bij het oplossen van vergelijkingen heb je de relationele betekenis van het = teken nodig.

Ontwikkelen leerlingen het begrip van een big idea niet voldoende dan zie je vaak een stapeleffect. Weet een voorbeeld. Als leerlingen niet goed hun begrip van de plaats-waarde achter de komma hebben ontwikkeld dan zie je dat onder andere als ze moeite hebben een breuk als 35/1000 om te zetten in een kommagetal. Dat gaat immers verder dan het memoriseren van een aantal veel voorkomende relaties tussen kommagetallen en breuken. Zelfs als je weet dat 1/1000 = 0,001, dan kun je nog moeite hebben met waar de 3 dan geplaatst moet worden. Heb je begrip van de plaats-waarde niet ontwikkeld dan heb je daar bij verschillende onderwerpen telkens weer last van. Bijvoorbeeld bij het cijferen met kommagetallen. Bij het rekenen met geld of maten als 1m63. Bij het omzetten van maten binnen het metriek stelsel. Bij het rekenen met procenten zeker als je wat meer gevorderd bent en met factoren gaat rekenen. En later in de leerlijn bij het rekenen met promille, indexcijfers en de wetenschappelijke notatie.

Verschillende soorten doelen

In het voorgaande zijn verschillende soorten doelen de revue gepasseerd. Bij rekenen-wiskunde is niet zijn niet alleen de doelen die we meestal als kennen en kunnen aanduiden belangrijk. Je hebt een aantal voorbeelden gezien van de big ideas die als het ware als een backbone het bouwwerk van kennen en kunnen ondersteunen. De big ideas vormen als het ware lange doorlopende lijnen van samenhang, die elkaar ook op verschillende plekken tegenkomen. Het is een manier om tegen het begripselement van het leren rekenen aan te kijken.

Hiermee kun je heel goed beschrijven wat de inhoudelijke doelen zijn. Daarnaast zijn er ook nog doelen die samenhangen met het dóen. Die te maken hebben met het uiteindelijk gebruiken van rekenvaardigheden in allerlei omstandigheden. Twee doelgebieden wil ik daarbij expliciet noemen: functionele gecijferdheid en enculturatie.

Functionele gecijferdheid heeft inmiddels ruime aandacht in het MBO waar bij de introductie van de nieuwe rekeneisen deze doelen duidelijk worden uitgewerkt. Het gaat daarbij om het met zelfvertrouwen gebruiken van je rekenvaardigheden. Dat kan op het gebied van het dagelijks leven, je beroepsleven of studie zijn. In het introductievoorbeeld van de blikken siroop heb je al ervaren dat hierbij ander soort inzichten en vaardigheden naar voren komen. Zo moet je bijvoorbeeld kritisch naar het berekende antwoord kunnen kijken en daar een betekenis aan kunnen geven. Je moet weten wat je moet doen als het net allemaal even anders is. Ik vind het zelf erg inspirerend om op onderzoek te gaan naar andere inzichten die je bij het functioneel rekenen opdoet. Je kunt dan bijvoorbeeld denken aan de oppervlakte van de binnen cirkel en de buitenring van een cirkel. Het punt waarop beide oppervlaktes even groot zijn ligt veel verder naar buiten dan de meeste mensen denken. De euromunt is een visuele illustratie daarvan; de goudkleurige rand en de zilverkleurige binnenkant hebben ongeveer dezelfde oppervlakte. Dit is een verklaring voor dat gevoel dat iedereen wel kent. Je denkt dat je op de helft van de rol vuilniszakken bent, maar dat laatste deel is veel sneller op.

Functionele gecijferdheid raakt direct aan het kunnen functioneren in de maatschappij zoals mijn voorbeeld van het klokkijken ook liet zien. Steeds meer jongeren hebben moeite met het klokkijken op een wijzerklok. Dat probleem wordt nu door het mobieltjes tekort weer zichtbaarder, omdat leerlingen nu alleen nog gebruik kunnen maken van de wijzerklokken aan de muur. Het moeite hebben met de wijzerklok lijkt ook verband te houden met het meer moeite hebben met het omzetten van een kommagetal naar minuten. Met de wijzerklok ligt er meer nadruk op het uur dat uit 60 minuten bestaat. Dat heb je nodig om 4,25 uur correct om te zetten naar 4 uur en 15 minuten.

Bij enculturatie gaat het om het onderdeel worden van de wiskundige cultuur. Een wetenschappelijke discipline is immers niet alleen een body of knowledge. Het gaat ook om een manier van denken en doen. Dat zijn culturele aspecten die ook bij het leren rekenen horen. Het gaat dan niet alleen om het omgaan met vaktaal, maar ook het ontwikkelen van een gevoel van esthetiek, een gevoel voor wat goede oplossingen zijn en een manier om concrete problemen te vertalen uit te rekenen problemen.

Afsluiting

Vandaag heb ik gesproken over de basis. Die basis heeft voor mij vele betekenissen.

• Onderwijs maken begin bij de doelen die je stelt.
• Het is daarom belangrijk om met elkaar te spreken over wat we onder basisvaardigheden verstaan.
• Rekenen-wiskunde is meer dan alleen ‘kennen & kunnen’ doelen.
• In het basisonderwijs leg je de basis voor de basisvaardigheden en werk je aan de basis van lange doorlopende leerlijnen.
• Ook flexibiliteit, creativiteit en kritisch denken zijn basisvaardigheden.

Deze post is onderdeel van een serie.