Op 25 september organiseerde Delta Scholengroep voor haar docenten de eerste van 4 bijzondere studiedagen: Delta leert. In deze blogserie vind je het verslag van mijn keynote op deze eerste studiedag.
Krimpflatie!?
In de vorige blogpost vroeg ik je uit te rekenen hoeveel duurder de siroop is geworden. De oude verpakking is voor 750 ml siroop, de nieuwe voor 600 ml. De prijs is gelijk gebleven.
Bij het uitrekenen van dit vraagstuk spelen verschillende inzichten een rol:
- Je moet herkennen dat het niet erg is dat je de prijs niet weet. Welke prijs je ook neemt, het antwoord zal altijd hetzelfde zijn. Voor veel leerlingen is dit een lastige stap, waarbij ze zomaar zelf informatie mogen kiezen.
- Je moet erkennen dat dit dé kans is om een handig bedrag te kiezen om mee te rekenen. En dan moet je ook nog een handig bedrag kunnen kiezen. Bijvoorbeeld € 7,50 per fles. Je kunt dan uitrekenen dat de prijs eerst € 1,00 per 100 ml was en nu € 1,25 per 100 ml. Een verhoging van 25%.
- Ik stel deze vraag vaker en veel mensen geven 20% als antwoord. Zij hebben daarbij de bekende formule voor procentuele groei gevolgd: deel het verschil tussen ‘nieuw’ en ‘oud’ (hier 150 ml) door de ‘oude’ hoeveelheid (hier 750 ml). Je hebt bij deze context het inzicht nodig dat die aanpak hier niet past. De reden hiervoor is dat het gaat om de prijs per liter. Je deelt de prijs door het volume, wat betekent dat het volume als het ware in de noemer van de breuk staat. Rekenen met de noemer van breuken zou een rode vlag moeten zijn. Dat is vaak net anders dan je denkt. Dat heb je bijvoorbeeld kunnen ervaren als je ontdekt dat 1/3 niet precies in het midden tussen 1/2 en 1/4 ligt.
- Tot slot wil je dan ook nog graag begrijpen wat de consequentie is van de verandering in de noemer. Dus waarom je dat bekende stappenplan niet kon gebruiken. Zo krijg je misschien nog wel een beter inzicht in waarom het antwoord 25% is. Een manier om daar tegenaan te kijken is de volgende: Je hebt nog maar 4/5 deel van het volume. Dat betekent dat de prijs per liter 5/4 keer zo groot. Dat is een factor van 1,25 wat betekent dat de prijs per liter 25% duurder is geworden.
Het is een interessant lijstje dat laat zien welk begrip er bij een rekenopdracht als deze komt kijken. Dit soort vraagstukken zijn dan ook een mooie vingeroefening om wat dieper naar de doelen voor reken-wiskundeonderwijs te kijken. Vinden we dat leerlingen een vraag als deze moeten kunnen beantwoorden? Of is dat in de huidige maatschappij niet meer nodig? In de supermarkt staat immers netjes aangegeven wat de prijs per liter product is. Dat maakt het vergelijk een stuk eenvoudiger.
Overigens is de prijs per liter op het prijskaartje hier niet voldoende. Er komen nog reken-wiskundige aspecten kijken, zoals een kritische blik op het vraagstuk. Toen ik namelijk beter op het blik keek, bleek dat niet alleen de hoeveelheid is aangepast. Ook de aanbevolen mengverhouding is voor de nieuwe verpakking anders. Waar je eerst 1 deel siroop op 7 delen water moest gebruiken is dat nu 1 op 9. Dat betekent dat zowel de verpakking van 750 ml als de nieuwe verpakking van 600 ml goed is voor 6 liter aangemaakte limonade. Hieruit kun je concluderen dat er helemaal geen sprake is van krimpflatie. Dit is een milieu maatregel waarbij we minder onnodig water vervoeren en verpakken. De prijs is gelijk gebleven.
Basisvaardigheden
Met deze vingeroefening komen we uit bij de vraag wat basisvaardigheden zijn. De inspectie voor het onderwijs1 schrijft het volgende:
Vaardigheden op het gebied van taal, rekenen-wiskunde en burgerschap zijn nodig om mee te kunnen doen in onze maatschappij. Uit verschillende onderzoeken blijkt dat de beheersing van deze basisvaardigheden door studenten en leerlingen lang niet altijd voldoende is. Dit heeft een negatieve invloed op de kansen in hun latere leven en op de maatschappij als geheel.
Dit laat zien wat het belang van een goede basis is, zowel voor de individuele leerling als voor ons als maatschappij als collectief. Dit is een mooie common-ground voor al die mensen die zich hard maken voor goed rekenonderwijs, die vanuit hun hart voor de leerlingen dingen willen verbeteren. Een gezamenlijke definitie voor basisvaardigheden is er echter nog niet. Op basis van het voorgaande zou je daar voor rekenen-wiskunde bijvoorbeeld het volgende voor kunnen formuleren:
Basisvaardigheden rekenen-wiskunde:
Een set aan reken-wiskundige vaardigheden
die voor leerlingen onmisbaar zijn
om adequaat deel te kunnen nemen
aan de huidige én toekomstige samenleving.
Definities als deze geven ons echter nog geen eenduidig beeld van de doelen. Er is nog ruimte voor verschillende interpretaties. Als je met wat afstand naar discussies over het reken-wiskunde onderwijs kijkt, dan valt op dat juist op het punt van de meer gedetailleerde invulling van de doelen geen overeenstemming bestaat. Het is dan niet meer dan logisch dat als je een ander doel nastreeft, je daarvoor vaak een andere aanpak kiest. Daarom is het ook zo zinvol om eerst bij de doelen stil te staan. Niet alleen omdat wat mij betreft het altijd wel verstandig is om je doelen helder voor ogen te hebben als de basis van je onderwijsaanpak. Maar ook omdat het heel waardevol kan zijn om bij verschil van mening over de aanpak, juist de doelen erbij te pakken om elkaar beter te begrijpen en tot een gezamenlijk standpunt te komen.
De invloed van beelden
Welke doelen je stelt voor het reken-wiskunde onderwijs hangt onder andere af van de beelden die je hebt. Je mens- en maatschappijbeeld. Je beeld van de bedoeling van onderwijs als geheel. Je beeld van de plek van basisvaardigheden in dat geheel. Je beeld van welke wiskunde je in het dagelijks leven en beroep gebruikt en hoe dat in de tijd aan het veranderen is. Je beeld van wat wiskunde eigenlijk is. En tot slot je beeld van hoe goed reken-wiskunde onderwijs eruit zou moeten zien. Dit soort beelden zijn onder andere gekoppeld aan het vakgebied van waaruit je naar het onderwijs kijkt. In deze lezing laat ik de invloed van verschillende beelden zien, waarbij ik extra aandacht besteedt aan het vakdidactische perspectief.
Byers2 gebruikt de termen logisch deductief en ambigu metaforisch om de verschillende beelden van wiskunde te duiden. Met logisch deductief beschrijft hij het beeld dat veel mensen in eerste instantie hebben. Wiskunde als een logisch bouwwerk waar je met de correct volgen van de stappen altijd op eenzelfde antwoord uitkomt. Een vakgebied dat ons objectieve resultaten oplevert. Hij schetst dat er daarnaast nog een ander beeld is. Zo noemen wiskundigen zelf hun werk creatief en hebben zij het bijvoorbeeld over elegantie. Dit beeld bestaat voor hen naast het logisch deductieve beeld.
Zowel 60° als 90° zijn hier logisch.
Referenties:
1 Citaat van de inspectie voor het onderwijs op: https://www.onderwijsinspectie.nl/onderwerpen/basisvaardigheden
2 Byers schreef het boek ‘How Mathematicians Think: Using Ambiguity, Contradiction, and Paradox to Create Mathematics‘. Het artikel ‘Ambiguity of mathematics’ geeft je een mooi startpunt om over de ideeën van Byers te lezen.
Deze post is onderdeel van een serie.