Afgelopen week had ik de eer om op de intervisiedag van het Julie Menne instituut te spreken voor de trainers van Met sprongen vooruit. Ik gaf een ‘kijkje over de schutting van het voortgezet onderwijs’. Zo kwamen ook de interne- en externe verhouding aan bod. Een mooi onderwerp om hier nog wat verder uit te diepen.

Je kunt verhoudingen als volgt definiëren: De verhouding tussen twee getallen is het quotiënt van die twee getallen. In de praktijk heb je vaak te maken met een ‘vaste verhouding’. Je zoekt dan een ander paar van getallen met dezelfde verhouding. We zeggen dan dat de verhoudingen gelijkwaardig zijn.
Je gaat bijvoorbeeld uit eten met twee gezinnen waarvan het ene gezin uit 4 personen en het andere uit 3 personen bestaat. Je wil daarom de kosten van het eten verdelen in de verhouding 4 : 3. Is de rekening € 35, dan wordt deze verdeeld in € 20 en € 15. Een rekening van € 77 wordt verdeeld in € 44 en € 33.
Hier zijn de verhoudingen 4 : 3 en 20 : 15 en 44 : 33 gelijkwaardig. Immers, deel je de twee getallen door elkaar dan komt daar telkens het quotiënt 1,33… uit.
In een meer wiskundige notatie kun je de verhouding schrijven als een getallenpaar. In dit voorbeeld betekent dit (4,3) ~ (20,15) ~ (44,33). Het ~ teken geeft aan dat de verhoudingen gelijkwaardig zijn. Kies je een schema zoals de dubbele getallenlijn of de verhoudingstabel, dan staat de 4 recht boven de 3, de 20 boven de 15 en de 44 boven de 33.
In een typisch verhoudingsvraagstuk zijn er 3 getallen gegeven en moet je de 4e berekenen. Bijvoorbeeld je weet dat je een afstand van 20 km in 2 uur hebt afgelegd. De vraag is dan bijvoorbeeld hoe lang je dan over 5 km hebt gedaan. Dit kan altijd door gebruik te maken van twee soorten verhoudingen. De eerste verhouding is binnen het getallenpaar. In dit voorbeeld is dat tussen het aantal km en het aantal uur. Het aantal km is 10 keer het aantal uur. Dat betekent dat je 5 ÷ 10 = 0,5 uur over de 5 km doet. In de vakdidactiek wordt dit een externe verhouding genoemd. De tweede verhouding ligt tussen de getallenparen. Als je het aantal km 4 keer zo klein maakt, dan is de tijd ook 4 keer zo kort. 2 ÷ 4 = 0,5. Deze verhouding wordt in de vakdidactiek interne verhouding genoemd. De verhoudingen gebruik je in zo’n berekening als factor. En je kunt altijd voor twee factoren kiezen.
Anders gezegd: Bij het rekenen met verhoudingen heb je als het ware altijd te maken met ’twee werelden’. Het eerste getal van het getallenpaar is de eerste wereld, en het tweede getal de tweede wereld. Bij dichtheid vergelijk je het volume met het gewicht. Bij snelheid de afstand en de tijd die je nodig hebt die afstand af te leggen. In een verhoudingstabel heeft elke wereld een eigen regel. In de dubbele getallenstrook of -lijn zijn de werelden de twee kanten van de strook. Het eerste getal van de verhouding staat op de bovenste regel/boven de dubbele getallenlijn. Het tweede getal staat op de onderste regel/onder de dubbele getallenlijn. Dat betekent dat je met een factor hebt tussen de twee regels (een verticale pijl) en een factor op de regel (horizontale pijlen). Waarbij je in dat laatste geval boven én onder de streep met dezelfde factor rekent. De verticale pijl geeft de externe verhouding aan. De horizontale pijlen de interne verhoudingen.

Bij het flexibel rekenen met verhoudingen in allerlei verschillende contexten is het belangrijk dat leerlingen beide verhoudingen kunnen gebruiken. Zowel binnen de werelden als ertussen. Zowel met de interne- als externe verhouding. Vooral dat laatste is belangrijk omdat in veel situaties nu juist die verhouding tussen de werelden al is gegeven. Dat kan als één getal of als een verhouding waarbij één van de getallen een 1 is. Bij een schaal 1 : 1000 is de werkelijkheid 1000 keer zo groot als wat er op de tekening is weergegeven. Bij een snelheid van 20 km/u is het aantal kilometers 20 keer zo groot als het aantal uur. Mijn bezwaar tegen het huidige gebruik van de verhoudingstabel is dat er een bijna exclusieve nadruk is komen te liggen op de ‘horizontale’ factor ofwel de interne verhouding. Dit is de factor waarmee je van het ene naar het volgende verhoudingspaar rekent. De verhoudingstabel op de rekenkaart zoals je die hierboven ziet is naar mijn idee een treffend voorbeeld van die eenzijdige, inflexibele manier om het rekenen met verhoudingen aan te leren. In plaats van een model dat leerlingen ondersteund in het redeneren over verhoudingen is het een visuele reminder geworden voor het stappenplan dat ze star moeten volgen.
Noot:
Heel vaak wordt er over de interne verhouding gesproken als de verhouding binnen de grootheid. De externe verhouding wordt dan de verhouding tussen de grootheden genoemd. Als je ‘grootheden’ hier interpreteert als de ‘werelden’ zoals ik ze hierboven beschrijf dan klopt het om op die manier over de interne- en externe verhouding te spreken. Freudenthal had het waarschijnlijk daarom over systeem in plaats van grootheid zoals Goffree dat gebruikte.
Maar het gaat mis als je naar de eenheden kijkt. Nu hebben de twee werelden vaak andere eenheden, dus dan ontstaat er geen probleem. Dit is echter niet altijd het geval. Zo zou je naar een verhouding van ‘2 op de 10 deelnemers heeft een hond’ kunnen kijken. Je vergelijkt dan het ‘aantal deelnemers met een hond’ met het ’totaal aantal deelnemers’. In beide gevallen gebruik je dezelfde eenheid: deelnemers. 2 op de 10 wordt echter vaak als voorbeeld genoemd van een interne verhouding omdat de eenheid van zowel de 2 als de 10 ‘deelnemer’ is. Dat klopt hier niet. Immers in deze context geeft het de externe verhouding mee aan. De interne verhouding komt bijvoorbeeld pas naar voren als je uit moet rekenen hoeveel deelnemers een hond heeft van een groep van 500 deelnemers:
Rekenen met de interne verhouding:
De groep is 50 keer zo groot, dus het aantal deelnemers met hond is ook 50 keer zo groot: 2 × 50 = 100.
Rekenen met de externe verhouding:
2 van de 10 deelnemers heeft een hond. Dat is 0,2 deel. Er zijn 0,2 × 500 = 100 deelnemers met hond.
Bronnen:
- Freudenthal, H. (1984). Didactische fenomenologie van wiskundige structuren. Utrecht: OW&OC.
- Goffree, F. (1984). Wiskunde & didactiek, deel 3. Groningen: Wolters-Noordhoff.ee (1984). Wiskunde en didactiek deel 3.