Van die mooie, kleurrijke geometrische patronen die je tot in de oneindigheid door kunt denken; ze hebben altijd een grote aantrekkingskracht op me gehad. En hoewel ik op school wel iets had geleerd over symmetrie, kwam ik er pas jaren later achter dat daar heel bijzondere wiskunde achter zit. Een lezing van Marcus du Sautoy (Symmetry, reality’s riddle) gaf de inspiratie om me hier verder in te verdiepen. En met die wetenschap worden deze patronen nóg leuker.

Een behangpatroon kenmerkt zich door de herhaling. Zo zie je in het patroon hierboven een vierkant patroon dat telkens terugkeert. Bij het indelen in soorten patroon wordt er gelet op draaisymmetrie en spiegelsymmetrie (lijnsymmetrie). De basis is de draaisymmetrie. Van elke punt waar het patroon om kan worden gedraaid, wordt aangegeven wat de orde van draaisymmetrie rond dat punt is. Is het patroon na een draaiing van 120 graden weer hetzelfde, dan is de orde 3. Draai je immers een heel rondje van 360 graden dan ziet het patroon er 3 keer hetzelfde uit. Daarna kijk je of er ook sprake is van spiegelsymmetrie met een spiegellijn dat door dat punt loopt.

Als je de basisstructuur van het patroon schematisch tekening zie je dit nog beter:

In het raster van de zeshoeken zie je 3 punten waar je het patroon omheen kunt draaien. Het midden van de zeshoek heeft orde 6. Het punt waar drie zeshoeken samenkomen heeft orde 3 en het midden waar twee zijden samenkomen heeft orde 2. Afhankelijk van de tekening in de zeshoek is het patroon wel of niet spiegelsymmetrisch.
In het raster met de vierkanten zie je ook 3 symmetriepunten. Twee van orde 4 en eentje van orde 2.

In deze patronen zie je twee patronen met de zeshoek als basis. In beide patronen zijn er dus punten van orde 6, 3 en 2 (je negeert daarbij de kleuren in het linker patroon, we kijken alleen naar de vormen). Het verschil is de spiegelsymmetrie. In het plaatje links is er geen spiegelsymmetrie. In het rechter plaatje is die symmetrie er wel. Om de patronen te kunnen beschrijven is er een notatiesysteem bedacht. De eerste getallen geven de orde aan van de punten van draaisymmetrie zónder symmetrie-assen. Na de ✻ staan de ordes van de punten waar een symmetrie-as doorheen loopt. Dan wordt het symbool × gebruikt voor een glijspiegeling. Tot slot is de 0 voor patronen zonder symmetrie. Het linker patroon noteer je daarom als 632 en het rechter patroon als ✻632.

Wiskundigen hebben aangetoond dat er precies 17 verschillende patronen zijn:

Nu zie ik inmiddels overal behangpatronen en betrap ik mezelf erop dat ik altijd even kijken met welk type ik te maken heb. Het fijne van de lijst hierboven is dat als je eenmaal een punt van symmetrie hebt gevonden, je weet welke punten je nog meer moet zoeken.

Niets leuker dan te proberen of ik de lijst compleet kan maken met foto’s die ik vind en maak. Ik ga een poging wagen en van elke patroon een blogpost maken. Hieronder hou ik bij hoe ver ik al ben.