Een kwestie van perspectief

Meerdere perspectieven in kunnen nemen als voorwaarde om iets echt te kunnen gaan begrijpen. Roger Antonsen noemt het in zijn TED lezing het geheim van de wiskunde.

In deze blog wil ik een van zijn uitspraken eens nader bekijken:

“…. this is an equation. It says that something is equal to something else. And that is two different perspectives.”

Op deze manier naar vergelijkingen kijken kan een mooie manier zijn om ambiguïteit op te sporen. Om er betekenis aan te geven, en daarmee het begrip van leerlingen te vergroten.

Zelf gebruikt Antonsen het voorbeeld x + x = 2x. 
Wat mij betreft zit de kracht van zijn opmerking ook al in minder abstracte onderwerpen.

Bijvoorbeeld 5 + 5 + 5 = 3 x 5:

3keer5

Hierin is een mooie perspectief wissel te zien van losse groepjes naar een rechthoek structuur die een eerste voorloper is van het oppervlakte begrip.

Van daaruit kom je al vrij eenvoudig op de volgende perspectiefwissel: 3 x 5 = 5 x 3

omdraaien

Het aardige van dit voorbeeld is dat er meerdere perspectieven zijn om tegen dit = teken aan te kijken. De eerste is weergegeven in het plaatje en heeft te maken met de twee kijkrichtingen die je kunt kiezen bij een rechthoek. Maar er is ook nog een andere mogelijkheid. We leren kinderen aan dat 5 x 3 betekent dat je vijf keer een hoeveelheid van 3 hebt. Daar maak je in de tekening hierboven ook gebruik van. Het interessante is dat in andere landen ook die duidelijke enkelvoudige betekenis van het keerteken als didactiek is gekozen, maar dat ze de betekenis net andersom leggen. 5 x 3 betekent dan dat je de hoeveelheid 5 drie keer hebt. Je begint met 5 en dat neem je 3 keer. Als je de klemtoon bij het uitspreken van 5 x 3 anders legt dan voel je dat verschil als het ware vanzelf. Ook dit is een mogelijke invalshoek om de twee perspectieven in 3 x 5 = 5 x 3 met elkaar te verbinden.

Als laatste wil ik een iets ingewikkelder concept als voorbeeld geven: ¾ = 3 ÷ 4.

breukenperspectief

Hoe verenig je het perspectief van ¾ als een deel van een geheel met het perspectief van 3 eenheden die je over 4 personen wilt verdelen?

Een mogelijkheid die voor de hand ligt is om de 3 eenheden over 4 personen te verdelen door de 3 helen elk in 4 gelijke stukken te verdelen. Je geeft dan iedere persoon één stukje van elke hele. In totaal krijgt ieder dan 3 stukjes van ¼. Leg je deze aan elkaar dan is dat ¾ per persoon.

De voorbeelden laten zien hoe het = teken aangegrepen kan worden om het verband tussen verschillende perspectieven expliciet en concreet te maken. Ik hoop dat ze de meerwaarde daarvan hebben laten zien. Het zien van meerdere perspectieven en ze zelfs te laten versmelten tot één ambigu concept is wat mij betreft de kracht en schoonheid van wiskunde, maar ook wat het soms een lastig vak maakt. Het expliciet maken van die ambiguïteiten is wat mij betreft een belangrijke stap naar wiskundig begrip.

Ik ben erg benieuwd naar jullie voorbeelden.

Geef een reactie

Het e-mailadres wordt niet gepubliceerd. Verplichte velden zijn gemarkeerd met *