Als je recente krantenberichten mag geloven dan is het realistisch onderwijs schuldig aan de ondergang van ons rekenonderwijs en is terug naar traditioneel onderwijs het enige dat onze kinderen nog kan redden. Als je dit soort artikelen vakdidactisch bekijkt, dan rammelt de redenering aan alle kanten. De inhoud mist en er lijkt vooral sprake te zijn van framing. Tijd voor een analyse.
Al eerder, in 2018, schreef ik over de polariserende toon in het debat over rekenonderwijs. De woorden die ik toen schreef gelden nog steeds. De blogserie kwam destijds voort uit mijn ergernis over de manier waarop we met elkaar discussieerden over waar we naartoe moeten. Uiteindelijk gaat het erom dat we het onderwijs voor onze kinderen beter willen maken. Dan moet het gaan over de inhoud. Aanvallen op de persoon en framing horen daar niet bij. Inmiddels lijkt er een nieuwe golf van rekenpolarisatie over Nederland te trekken. Op berichten van dit genre is rekeninhoudelijk en vakdidactisch vaak wel het een en ander aan te merken. Ik leg dat uit aan de hand van een recent artikel uit het NRC (Een op de vijf scholen scoort onvoldoende). Het geeft een mooie illustratie van wat ik bedoel.
Het begint bij de inhoud
In het midden van dit artikel worden we meegenomen naar een rekenles die volgens het traditionele paradigma is vormgegeven, helemaal naar de smaak van de geïnterviewde voorvechter van traditioneel onderwijs. De klas rekent de som 2 3/8 + 2 7/9 uit. Het artikel legt uit: “Bij een moeilijke stap (9 x 19) moeten de leerlingen hun ‘extra uitrekenschrift’ gebruiken, een soort kladblok. Sommen die ze niet uit hun hoofd kunnen uitrekenen, rekenen alle leerlingen op dezelfde manier uit: cijferend.” Dat de som 9 x 19 voorkomt in de berekening betekent dat de docent de gemengde breuk heeft omgezet in een onechte breuk ( 2 3/8 = 19/8).
Hoewel je zo ook bij het juiste antwoord uitkomt, is de gekozen manier om van de breuken eerst onechte breuken te maken een omslachtig en onverstandige strategie. Je ziet dat als je deze naast de gewenste, optimale manier van rekenen zet:
Doordat bij een onechte breuk de teller groter is dan de noemer, reken je bij het gelijknamig maken eigenlijk altijd keersommen uit die buiten de tafels liggen. Dat is bij noemers onder de 10 niet zo wanneer je de breukdelen en de gehele getallen apart optelt. Doordat je met grotere getallen in de tellers werkt, wordt ook de stap aan het einde waar de helen er weer uitgehaald moeten worden een stuk complexer. Bij de efficiënte manier aan de rechterkant zal de som van de twee breuken nooit groter zijn dan 2. Dat betekent dat als de teller groter is dan de noemer, je hooguit één hele eruit hoeft te halen: Dat is dan een kwestie van de noemer 1 keer van de teller af te trekken. In het voorbeeld uit de klas is er sprake van 5 helen. Om die 5 te vinden moet er of herhaald zijn afgetrokken of grotere, lastige deling zijn uitgevoerd.
Een ander opvallend element van het voorbeeld is dat 9 x 19 cijferend uitgerekend wordt. Hebben leerlingen echter voldoende beheersing van de basisvaardigheden dan is deze som zo eenvoudig dat ze deze prima uit het hoofd kunnen uitrekenen: 9 x 19 = 9 x 20 – 9 = 180 – 9 = 171.
De door de docent in het artikel gevolgde rekenstrategie is omslachtig en verhoogt onnodig de kans op rekenfouten. Immers, met grote getallen buiten de tafels maak je eerder een rekenfout. We hebben hier zelfs te maken met een mogelijk misconcept waarbij standaardprocedures voor het optellen en vermenigvuldigen van breuken door elkaar worden gehaald. Wil je de gemengde breuken vermenigvuldigen dan is het namelijk wel handig om er eerst onechte breuken van te maken. Dan is de strategie waarbij je de gemengde breuken laat staan weer omslachtiger.
Bij het rekenen met gemengde breuken gaat het er dus om dat leerlingen het verschil weten tussen de handigste manieren om op te tellen en te vermenigvuldigen. Het gaat om het begrijpen in welke situaties een gemengde breuk notatie handig is en wanneer de onechte breuknotatie.
Het voorbeeld illustreert dat we op andere assen moeten kijken naar de kwaliteit van onderwijs dan zoiets als globale termen als realistisch of traditioneel rekenen. Het begint altijd bij goede inhoud, zoals hier bij de gewenste strategie(en) waar het onderwijs naartoe werkt. Bij inhoud hoort ook de vraag aan welke onderliggende concepten gewerkt wordt. Inzichten in wanneer de gemengde breuk notatie handig is en wanneer de onechte breuknotatie gebruik je later in de leerlijn weer als je met algebra aan de slag gaat. Ook is er de keuze of je leerlingen wilt leren altijd alles volgens hetzelfde stappenplan uit te rekenen of dat je ze aanleert flexibeler te rekenen en slimmere rekenmanieren te gebruiken als de situatie zich daarvoor leent. Je kunt dit vergelijken met de discussie of je een tweedegraads vergelijking altijd op laat lossen met de abc-formule of dat je wilt dat leerlingen eerst kijken of er een andere snellere manier, zoals bij x² – 9 = 0, x² + 5x + 6 = 0 of (x-3)(x+6) = 0. Kies je voor de tweede insteek, dan is de abc-formule alleen nog de inefficiënte methode die altijd werkt en die je alleen gebruikt als het niet anders kan.
Pas als je op assen als deze de doelen hebt vastgesteld waar je met je onderwijs naartoe wilt werken, ga je kijken naar de beste manier om dat te bereiken: de vorm. Het voorbeeld laat duidelijk zien dat bepaalde vormkenmerken zoals traditioneel nooit kunnen garanderen dat je goed onderwijs krijgt. Daarom is voorzichtigheid altijd geboden als er evidence based claims over de vorm gemaakt worden.
Karikaturen en framing
Het tweede onderwerp dat ik in deze analyse wil benoemen is de framing. Er is gewoonte ontstaan om realistisch rekenen als de grote boosdoener af te schilderen met retoriek als ‘er voltrekt zich een ware rekenramp’. Het huidige onderwijs wordt gekenschetst als realistisch onderwijs en de oplossing is een nieuwe vorm van rekenonderwijs: traditioneel rekenen. Het valt echter op dat in dergelijke artikelen een weinig accurate beschrijving is opgenomen van zowel het realistisch rekenen als traditionele didactiek.
In het NRC artikel wordt bijvoorbeeld de indruk gewekt dat alleen de traditionele didactiek een logische wiskundige volgorde aanhoudt: “Cihangir: ‘Ik denk dat het rekenniveau in Nederland almaar omlaag gaat, omdat er geen systematische opbouw van kennis is’. In de lessen van het NMI leren kinderen eerst optellen, dan aftrekken, dan vermenigvuldigen en dan delen.” Dit wekt de indruk dat dit in een realistische didactiek niet zo is. Uiteraard onzin. Welke smaak van didactiek je ook kiest: de genoemde volgorde van optellen naar delen is een vrij algemene indeling. Vakdidactisch gaat het in de opbouw vooral om de keuze of deze operaties als losse concepten onderwezen worden of als een samenhangend geheel. Later in de leerlijn is het belangrijk dat leerlingen begrijpen dat optellen en aftrekken tegengestelde bewerkingen zijn. En dat datzelfde geldt voor vermenigvuldigen en delen. Begrip dat bijvoorbeeld nodig is om te rekenen met breuken en voor het oplossen van algebraïsche vergelijkingen.
En bijna altijd komen ook weer de ‘verhaaltjessommen’ op tafel. Verhaaltjessommen worden gezien als talig, waardoor rekenen begrijpend lezen is geworden. Hier is echter iets wonderlijks aan de hand. Verhaaltjessommen of redactiesommen zijn al behoorlijk oud en horen bij een meer traditionele didactiek. Ze zijn vaak verbonden aan het gebruik van signaalwoorden als ‘samen’, ‘per’ of ‘verschil’, op basis waarvan je kunt weten als leerling welke bewerking je op de getallen moet toepassen. Toch wordt het woord nu gebruikt de contexten die in de realistische traditie worden gebruikt negatief te beschrijven. De contexten uit de realistische hoek zijn echter van een heel andere orde. Ze dienen een ander doel en hebben daarom ook een heel andere vorm. Mijn blogpost uit 2018 (De ene context is de andere niet) geeft daar meer detailinformatie over.
Nog een aantal kanttekeningen
Naast de weinig accurate beschrijving van het realistisch rekenen is het ook goed om nog een andere kanttekening te plaatsen. Er is een groot verschil tussen de internationale, wetenschappelijke theorie die we realistic mathematics education (RME) noemen en wat we in de huidige Nederlandse onderwijspraktijk zien. Daarin bestaan namelijk geen zuivere vormen van realistisch reken- of wiskundeonderwijs. In het basisonderwijs én voortgezet onderwijs zijn mengvormen ontstaan waarin zowel realistische als traditionele invloeden aan te wijzen zijn. In het basisonderwijs is er een grotere invloed van het realistisch rekenen. Maar ook hier zie je verschuivingen: in de nieuwe edities van enkele basisschoolmethodes die zich voorheen realistisch noemden zie je bij het rekenen met grote getallen bijvoorbeeld meer van de traditionele aanpak van het cijferen en minder de kolomsgewijze opbouw van het rekenen met grote getallen passend bij een meer realistische aanpak. Ook doet EDI als didactiek in enkele methodes zijn intrede. In het voortgezet onderwijs, waar ook een deel van het rekenonderwijs plaatsvindt, is de grootste wiskundemethode eerder traditioneel te noemen.
Een tweede kanttekening is dat de tegenstelling traditioneel – realistisch de indruk wekt dat er niets anders te kiezen valt. Dat het het een of het ander is. Dat doet de ontwikkelingen in de internationale vakdidactiek geen enkel recht. Er is zoveel meer. RME en meer traditionele didactieken stammen uit een tijd dat de wereld er heel anders uit zag. Inzichten uit die tijd kunnen zinvol zijn, maar we hebben ook te maken met nieuwe uitdagingen zoals de intrede van steeds geavanceerdere software die wiskundig werk van ons over kan nemen, maar ook een samenleving die steeds informatie complexer wordt. Onderzoek naar hoe je ‘functionele gecijferdheid’ kunt bewerkstellingen is dus zo’n nieuw onderwerp. Maar ook het ontwikkelen van ‘building thinking classrooms’ is zo’n nieuwe ontwikkeling die niet te vangen is in een van deze twee tegenover elkaar gezette richtingen. En zo zijn er vele voorbeelden.
Een derde kanttekening is dat er niet altijd oog is voor de lange doorlopende leerlijnen. Het gaat rekenen en wiskunde niet om een aaneenschakeling van losse blokken van vaardigheids- en kennisdoelen, die in een logische manier moeten worden geplaatst. We hebben bijvoorbeeld ook te maken met onderliggende big ideas. Zulke centrale concepten zorgen er onder andere voor dat het vakgebied samenhang krijgt. Ze hangen bovendien samen met de structuren en de ambiguïteit die ons vakgebied kenmerken. Zulke meer conceptuele doelen hebben lange doorlooptijden. Hoe leerlingen zich op deze doelen ontwikkelen wordt meestal niet gemeten. Het is daarom zo belangrijk om bij wetenschappelijk onderzoek naar rekenonderwijs ook deze lange termijn mee te nemen en te blijven onderzoeken wat effecten (kunnen) zijn verderop in de leerlijn. Iets dat op korte termijn grote effecten lijkt te hebben, kan vanuit het perspectief van de doorlopende leerlijn heel onverstandig zijn.
Verantwoordelijke journalistiek
Tot slot denk ik dat er een verantwoordelijkheid ligt bij de journalistiek zelf. Hoewel er voor het stuk dat ik hier als voorbeeld heb genomen aan hoor en wederhoor lijkt te zijn gedaan, is het toch onvoldoende geïnformeerd. Het effect is dat er toch redelijk kritiekloos een polariserende toon is overgenomen. Door de misinformatie in dit soort uitingen ontstaat er ruis waardoor het moeilijker wordt om met elkaar te bespreken wat de beste wegen zijn om het rekenniveau van kinderen te verbeteren. Want ik denk dat iedereen het erover eens is dat er dingen goed gaan, maar dat er ook nog werk aan de winkel is. Maar uiteindelijk zouden we toch met elkaar gemeen moeten hebben dat we het voor de kinderen doen.