Op de NRCD 2024 had ik de eer de openingslezing te mogen verzorgen. In deze serie blogberichten kun je de lezing nog eens nalezen.
Blikwisselingen kunnen dus prikkelen en daarmee ons denken verder brengen. Vandaag wil ik daarom ook een aantal van mijn blikwisselingen met jullie delen als opwarmer voor de rest van deze NRCD. Maar voor ik dat doe, wil ik je graag eerst een aantal recente voorbeelden laten zien.
Voorbeeld 1 – Verhoudingen
In een mbo 2 groep mocht ik in een les meekijken. Op het bord een verhoudingsvraagstuk die de docent en zijn studenten samen aan het oplossen waren. Het was een opgave van het soort:
In een recept voor 4 personen staat dat je 300 ml melk nodig hebt. Hoeveel heb je nodig voor 6 personen.
De docent had alvast een verhoudingstabel op het bord gezet en vroeg aan zijn studenten wat daarin moest komen te staan. De sfeer was goed en de studenten deden actief mee. Maar wat opviel was dat alle getallen uit de opgave en ook alle basisbewerkingen door ze werden genoemd. Het was als het schieten met hagel. De docent haalde hier vervolgens de juiste antwoorden tussenuit en noteerde die op het bord en zo werd het vraagstuk opgelost. Het zweet stond, zoals we dat vaak zeggen, op de verkeerde rug. De meeste van deze studenten hadden geen idee hoe het verhoudingsprobleem en de verhoudingstabel met elkaar verbonden waren. Ook leken ze weinig begrip te hebben van de betekenis van elk van de basisbewerkingen.
Voorbeeld 2 – Taarten en breuken
In een andere mbo 2 groep gingen de studenten alleen of samen aan de slag met de volgende deel-geheel-opgave:
Bereken zeven tiende van 520.
Het bood me een mooie gelegenheid om bij een van de studentes aan te schuiven om mee te kijken en denken. Het eerste obstakel dat deze studente ervoer was de bewoording: ‘zeven tiende’. Ze zag dit aan voor ‘zeventien’, wist het verschil tussen ‘zeventien’ en ‘zeven tiende’ niet, en had daarom geen idee wat hier gevraagd werd. De eerste stap die we zetten was daarom het bespreken hoe je een breuk herkent (-ste en -de).
Mijn volgende vraag was of ze me kon vertellen wat 7/10 dan precies is; om me uit te leggen wat een breuk is. Ze besloot een taart te tekenen en die in 10 gelijke stukken te verdelen. Ze tekende een cirkel. Met een verticale streep verdeelde ze die netjes in twee gelijke delen. Met nog een horizontale streep werden het vier gelijke delen. En toen werd ze heel stil. Ze wist niet hoe ze deze taart in 10 delen kon verdelen.
Dit voorval leidde naar een voor mij interessante vraag: is het verdelen van een cirkel in een bepaald aantal gelijke delen een basisvaardigheid? Ik ben voor mezelf tot de conclusie gekomen dat ik dat eigenlijk wel vindt. Toch zal je dit soort doelen niet zomaar in doelbeschrijvingen tegenkomen.
Er was in die les geen tijd om hiermee aan de slag te gaan, dus ik hielp haar door de taart netjes in 10 gelijke delen te verdelen. We kwamen tot de conclusie dat elk van de stukken 52 waard was. En dat ze 7 van die stukken nodig had. Toen gebeurde er iets bijzonders. Het was of ze voor een sprint uit de startblokken kwam. 7 x 52 werd 7 x 50 en dan nog 7 x 2 en binnen no-time stond het juiste antwoord op papier. Ook bij een aantal andere opgaven in deze les viel op dat bij deze studente de distributieve eigenschap goed was ingetraind.
Het is een beeld dat ik vaker zie in het mbo: studenten die bepaalde onderdelen heel goed beheersen en andere onderdelen, waarvan we over het algemeen denken dat die makkelijker zijn, niet. Als we reken-wiskunde vaardigheden als een muurtje zouden zien, dan is het niet zo dat er alleen bovenin stenen missen. Veel eerder is het beeld dat er op verschillende plekken gaten in het bouwwerk zitten. Natuurlijk is het zo dat sommige onderdelen traditioneel moeilijker worden gevonden en dat voor juist die onderdelen bij meer studenten een hiaat ligt. Maar los daarvan lijkt elke student weer een ander patroon van beheerste en niet beheerste basisvaardigheden te hebben.
Voorbeeld 3 – Algebra
We maken een sprong naar 5 havo. Hier moeten de leerlingen de volgende vergelijking oplossen:
Een van de leerlingen komt er niet uit en de docent wilde hier niet met trucjes werken. In plaats daarvan probeerde hij de leerling een stapje verder te brengen door met een analogie te werken. Hij start met 6/3 = 2.
De leerling vroeg waarom hij weer iets nieuws moet leren. De docent probeerde daarom nog een andere manier: hij vroeg de leerling hoe je uitrekent wat op de plek van de .. moet staan in
2 x .. = 8.
Het voorbeeld laat zien dat de leerling de breuk niet heeft herkend als een deling, en dat ook de link tussen vermenigvuldigen en delen nog niet voldoende is ontwikkeld. Dat de breuk als deling een onderontwikkeld of niet ontwikkeld concept is voor veel leerlingen, is ook al in mijn eerdere onderzoek naar voren gekomen.
Voorbeeld 4: Klokkijken
Voor het laatste voorbeeld gaan we naar een 4 gymnasium klas. Klokkijken heeft al geruime tijd mijn interesse. Dat begon met een terloopse opmerking van een mbo-docent. Ze vertelde hoe haar studenten soms ten onrechte gebrek aan discipline wordt toegerekend, omdat ze te laat op de stageplek komen. Ze legde uit dat een groot deel van haar studenten niet kan klokkijken en liet ons zien wat voor impact dat had op hun dagelijks leven.
Nu wordt vaak gedacht dat dit een probleem is van leerlingen die meer moeite met rekenen hebben. In een gesprek met een aantal gymnasium docenten ontstond een ander beeld. We hadden allerlei aanwijzingen dat ook daar op school leerlingen rondlopen die niet goed kunnen klokkijken. Samen met een docent uit het datateam heb ik een toets ontworpen en afgenomen bij 50 V4 leerlingen. In deze toets waren een aantal vragen opgenomen waarbij de leerlingen wat minder gewone klokken moesten aflezen, zoals onderstaand fragment laat zien.
Slecht 27 van de 50 leerlingen konden deze klok correct aflezen. En ook bij andere vragen werd onverwacht slechter gescoord, dan wij van tevoren hadden ingeschat. Vooral het aflezen van een wijzerklok bleek lastiger.
Naar aanleiding van dit onderzoek ontstond de vraag in hoeverre het aflezen van een wijzerklok nog een basisvaardigheid is. Er zijn immers eigenlijk ook altijd digitale klokken om af te lezen. Behalve dan in de meeste leslokalen. In plaats van het de leerlingen alsnog leren aflezen van de wijzerklok zou je er ook voor kunnen kiezen om op school digitale klokken op te hangen. Aan de andere kant, zou de wijzerklok moeten blijven door zijn didactische waarde? Tijdens het eerste proefwerk economie in klas 4 moeten deze leerlingen een uitgerekende tijd uitdrukken in uren en minuten, bijvoorbeeld 4,25 uur. Een deel van de leerlingen maakt daar vervolgens 4 uur en 25 minuten van. De vraag is of het werken met een wijzerklok ervoor kan zorgen dat je bewuster wordt dat een uur uit 60 minuten bestaat en een kwartier uit 15 minuten.
Voor mij illustreren deze vier voorbeelden dat het vraagstuk rondom de basisvaardigheden complex is. Elk van de voorbeelden is een indicatie van heel diverse problemen bij het rekenen, zoals de volgende. Op verschillende manieren mist bij leerlingen en studenten conceptueel begrip dat ze wel nodig hebben. Het gebruik van didactische modellen heeft niet altijd het gewenste effect. Het beeld van wat leerlingen wel en niet beheersen is regelmatig grillig. Het niet meer gebruiken en beheersen van bepaalde vaardigheden kan didactische implicaties hebben.
Verder lezen? Ga dan naar het volgende deel: