We gaan op vakantie en we nemen mee. Als je niet hetzelfde idee bij ‘vakantie’ hebt, dan kun je flink langs elkaar heen praten over wat je mee wilt nemen.
In stap 5: doelen als startpunt besprak ik hoe belangrijk het is om te starten met het naar elkaar uitspreken van de doelen die je voor ogen hebt.

Zo voorkom je niet alleen dat je het over heel verschillende dingen hebt, het zorgt er ook voor dat je bij de kern van het debat komt. Als je weet wat de verschillende denkrichtingen zijn, dan kun je samen onderzoeken waar die verschillen vandaan komen. Op die manier ontstaat er ruimte om het over de onuitgesproken en soms onbewuste aannames te hebben, om het belang van verschillende onderdelen van het curriculum te wegen én om op een laag dieper te kijken naar wat ‘kunnen en begrijpen’ eigenlijk betekent.

Gisteren besprak ik kort dat er grofweg twee speelvelden of niveaus van debat zijn. Op het eerste veld, het niveau van het reken- wiskundeonderwijs als geheel, staat de vraag centraal wat de digitalisering betekent voor het curriculum. Op het tweede veld gaat het primair om de beheersing van de basisvaardigheden. Hoewel deze tweedeling prima werkt om onderscheid te maken tussen artikelen over het reken- en wiskundeonderwijs kun je deze debatten uiteraard niet los van elkaar zien. Interessant is dat spelers op speelveld 1 vinden dat hun werk invloed heeft op de spelregels op veld 2. De vraag wat digitalisering betekent gaat immers over de nieuwe inhouden en accenten, maar ook over de positie en het gewicht van de basisvaardigheden binnen het curriculum. Spelers die zich primair op speelveld 2 concentreren gaan in hun werk vooral uit van de huidige positie op het gebied van de rekenvaardigheden en doen suggesties om dat te verbeteren.

In deze post concentreer ik mij voor nu op de basisvaardigheden. Het doel ‘leerlingen beheersen de basisvaardigheden’ mag dan eenduidig lijken, zij is dat niet. Er zijn verschillende niveaus waarop je die beheersing zou kunnen inschalen, verschillende niveaus van kunnen en begrijpen. Aan de hand van het voorbeeld 2/3 + 1/4 laat ik hieronder zien hoe je daar verschillende doelen in zou kunnen onderscheiden. Welk doel je wanneer en voor welke leerling wilt stellen hangt af van je visie op wiskunde én op het idee wat de rol van basisvaardigheden is in de samenleving van nu en morgen. Ook hier geldt weer: het is zinvol eerst te bespreken welk type doel nagestreefd zou moeten worden. Bij de verschillende typen horen namelijk andere leerpaden.

De bewerking of procedure kunnen uitvoeren

Bij het optellen van breuken die niet een gelijke noemer hebben is de eerste stap het gelijknamig maken van de breuken. Dat kan op verschillende manieren. Er kan gezocht worden naar de kleinste noemer om naar gelijknamig te maken. Daarvoor moet de KGV gevonden worden van de noemers van de breuken die gelijknamig gemaakt moeten worden. Bijvoorbeeld, wil je 3/10 en 6/15 gelijknamig maken, dan is 30 de kleinste noemer die daarvoor geschikt is: 3/10 = 9/30 en 6/15 = 12/20. Het kan ook simpeler. Wanneer je beide noemers met elkaar vermenigvuldigt dan krijg je ook een noemer waarnaar je gelijknamig kunt maken. Je krijgt dan alleen niet altijd de kleinste noemer. Het nadeel is dat dit in sommige gevallen het rekenwerk complexer kan maken, maar je hoeft niet de KGV te vinden.
Als bepaald is wat de ‘nieuwe noemer’ moet worden, dan moeten voor elke breuk de teller en noemer vermenigvuldigd worden met hetzelfde getal.

In ons voorbeeld betekent dit laatste dat:

• de teller en noemer van 2/3 met 4 vermenigvuldigd worden: 2/3 = (2×4)/(3×4) = 8/12
• de teller en noemer van 1/4 met 3: 1/4 = (1×3)/(4×3) = 3/12
• Dit levert: 2/3 + 1/4 = 8/12 + 3/12 = 11/12

Om tot het goede antwoord te komen, om de vaardigheid om deze breuken op te tellen te beheersen, is het voldoende om de procedure te kennen en te volgen.

Bewerking of procedure met begrip uitvoeren

Er zijn allerlei redenen waarom je wilt dat leerlingen bovenstaande bewerking met begrip uitvoeren. Eén daarvan is dat leerlingen beter onthouden wat ze moeten doen, als ze begrijpen waarom ze dat doen. In dit voorbeeld kan dat begrip zich richten op de equivalentie: het waarom van 2/3=8/12. De stap die procedureel gezien neerkomt op het vermenigvuldigen van de teller en de noemer met hetzelfde getal wordt hier gevisualiseerd:

De modellen ondersteunen in de tekening het gelijknamig maken. Dit kan een tussenstap zijn naar het kunnen optellen zonder deze modellen nog te tekenen. Je kunt zeggen dat rekenen mét deze visuele ondersteuning en zónder ondersteuning twee verschillende handelingsniveau’s zijn. Wat betreft het stellen van doelen kun je onderscheid maken op welk handelingsniveau een leerling deze operatie moet beheersen. Is het voldoende als een leerling de som van simpele breuken met de behulp van deze modellen uit kan rekenen, of moet hij dit ook op formeel niveau zonder modellen beheersen?

Onderliggende wiskunde begrijpen

Begrip kan ook nog op een ander niveau liggen. Dan gaat het over onderliggende wiskundige essenties. In ons voorbeeld kan dat beginnen met de vraag waarom je de breuken gelijknamig moet maken. Het gelijknamig maken is een oplossing voor een ‘probleem’. Wat is dat probleem?

Dat aspect is in bovenstaand schema zichtbaar gemaakt. In de tekening zijn de stukken samen in één cirkel getekend, maar daarmee weet je nog niet hoeveel het totaal is. Om het som-deel te benoemen heb je een eenheid nodig. Een onderverdeling die wel past. In dit geval zijn dat ’twaalfden’.
Je kunt dit vergelijken met het optellen van 2 cm en 33 mm. Je kunt de getallen niet zomaar optellen zolang ze niet over dezelfde maateenheid gaan. 20 mm en 33 mm kan wel worden opgeteld tot 53 mm. Bij breuken geldt dus hetzelfde.  Twaalfden is een geschikte eenheid omdat derden en kwarten laten zich makkelijk laten omrekenen naar twaalfden. Gelijknamig maken is dus niet anders dan het zoeken naar een geschikte gezamenlijke eenheid. In dit geval representeert de noemer de eenheid.

Overigens is de equivalentie (2/3 = 4/6 = 6/9 enz) van breuken ook een onderliggende essentie.

Deze post is onderdeel van de serie ‘rekendiscussie 2.0’:

Intro
Stap 1 – eenduidig jargon
Stap 2 – op de bal
Stap 3 – visie op wiskunde
Stap 4 – multi-geëncultureerd
Stap 5 – doelen als startpunt
Stap 6 – niet één beste . . .
Stap 7 – relatie tussen theorie en praktijk
Stap 8 – rol voor de media
Nawoord

Wil je meer lezen over de achtergronden, dan kun je dat vinden in deze posts:

Achtergrond stap 1: de ene context is de andere niet
Achtergrond stap 3: de gezichten van wiskunde
Achtergrond stap 5: kunnen en begrijpen