Wat is wiskunde?
Gisteren besprak ik dat wiskunde niet voor iedereen hetzelfde is. Vandaag iets meer achtergrond bij die gedachte. Wiskunde is net als taal dat ook is, zowel een vakgebied op zichzelf als een ‘service-vak’. Dat betekent kort door de bocht dat wiskunde voor een wiskundige iets heel anders is dan voor een ingenieur en ook weer iets anders dan voor iemand uit de social sciences.
Hoe het beeld van wiskunde van invloed is op de discussie over reken-wiskundeonderwijs laat een bijdrage van Ronald Meester in de Euclides zien (In reactie op Hessel Pot. Euclides 85/2 pp 76-77). Hessel Pot schreef eerder in Euclides over het rekenen met breuken. Pot vroeg zich af of een verhouding wel hetzelfde is als een breuk. Het volgende citaat laat mooi zien hoe Pot en Meester op twee hele verschillende manieren naar wiskunde kijken.
“In Euclides 84(8) vraagt Hessel Pot zichzelf (en de lezer) of een verhouding nu wel of niet hetzelfde is als een breuk. Hij vindt het merkwaardig dat in geen enkel leerboek uitgelegd wordt waar het onderscheid nu precies in zit. Met afschuw citeert hij een passage uit de TAL-reeks, waarin we kunnen lezen dat ‘Breuken, procenten, kommagetallen en verhoudingen zijn verschillende beschrijvingen van iets wat in zekere zin als hetzelfde kunnen beschouwen.’ Ik ben het met Pot eens wanneer hij stelt dat dit citaat een beetje ongelukkig is, maar de reden dat ik het citaat niet erg geslaagd vind is toch een andere dan die van Pot. Pot stelt – als ik het goed begrijp – dat uitgelegd zou moeten worden wat dat ‘iets’ nu toch precies is. Ik denk dat we dat vooral niet moeten proberen. Ik denk dat de precisie die Pot kennelijk nastreeft – in de zin dat we de betekenis van begrippen exact moeten vastleggen – niet bij de wiskunde hoort, en de wiskunde zelfs van haar effectiviteit (en schoonheid) zou beroven.”
Ronald Meester, hoogleraar wiskunde, verwijst naar Byers. In ‘The ambiguity of mathematics‘ schets Byers twee dimensies van wiskunde. Hij noemt deze ‘logisch deductief’ en ‘ambigu metaforisch’. Het volgende citaat laat zien hoe Byers tegen ambiguïtiet aankijkt:
“Mathematics is not merely algorithmic. It is not merely about formal, deductive thinking. If you think of mathematics in that way you will never understand its subtlety and power. Mathematics derives its power from an intricate and complex marriage of logic with the creative power of something that is akin to metaphor. 0 and ¥ are metaphors. They capture something that does not exist on one level and create something absolutely new and original that describes basic properties of the natural world. Any deep mathematical definition is ambiguous and so metaphoric. Understanding the definition means no less than grasping the ambiguity, that is, being able to move freely from one of the many viewpoints that is covered by the single definition.”
In zijn stuk benadrukt hij dat beide dimensies van belang zijn.
Ook andere wetenschappers verwijzen naar ambigue aspecten van wiskunde. Zoals Sfard in haar “On the dual nature of mathematical conceptions: Reflections on processes and objects as different sides of the same coin“. In dit artikel maakt Sfard een vergelijking tussen de ontwikkeling van wiskunde als vakgebied en het leren van wiskunde. Ze beschrijft hoe in de wiskunde concepten vaak ontstaan als processen die later wiskundige objecten worden. Het concept draagt dan zowel dat proces- als dat objectkarakter in zich. Als voorbeeld kun je denken aan negatieve getallen. In eerste instantie verwijzen die naar het proces van aftrekken. De negatieve getallen zijn echter ook objecten op zichzelf. Getallen waarmee je kunt rekenen. Ook het = teken is een eenvoudig voorbeeld van dat duale karakter. We kunnen de = bekijken in procedurele zin, als een ‘opdracht tot uitrekenen’. De = heeft echter ook een relationele betekenis. Die zie je wanneer je vergelijkingen op gaat lossen. De = geeft dan de gelijkheid tussen de twee kanten van het teken aan. Het artikel van Sfard is niet het makkelijkste uit de vakdidactiek, maar zeer de moeite waard om een aantal keren te herlezen.
Wiskunde heeft dus meerdere gezichten. Bijvoorbeeld wiskunde als taal van wetenschap en als instrument voor verschillende disciplines. Dit is het beeld dat veel mensen van wiskunde hebben: rekenen gaat om het uitrekenen en wiskunde is een verzameling van methodes, technieken en procedures die allemaal tot dat éne juíste antwoord leiden. Of het gezicht van het oplossen van problemen en modelleren. Het stellen van de juiste vragen, het vertalen van een probleem naar wiskundige technieken en het interpreteren van de uitkomsten van die berekeningen horen ook bij de wiskundige activiteit. De wiskunde van de modelleercyclus1. Hét unieke juiste antwoord bestaat hier niet meer. Of het gezicht gekoppeld aan wiskunde als discipline: de wiskunde van het zoeken naar patronen, het leggen van verbanden, abstraheren en generaliseren. Hierin gaat het niet meer om de antwoorden als doel op zich, maar om een manier van denken, om onderliggende concepten en universele ideeën.
1De modelleercyclus is goed te vinden op internet. Er zijn verschillende varianten die allemaal neerkomen op een vertaling van het probleem naar een wiskundig model waaraan gerekend kan worden, en een terugvertaling naar het oorspronkelijke probleem.