Tagarchief: eigenschappen van bewerkingen

Meneer van Dale wacht niet meer

MVDWOA

Het lijkt eenvoudig: wat is het antwoord op bovenstaande som?Toch kunnen dit soort sommen een hele discussie (op internet) teweeg brengen.

Het lijkt allemaal wat flauw. Want bij twijfel of vermoeden van mogelijke miscommunicatie kun je ook gewoon wat extra haakjes zetten. Moeten we leerlingen dan echt dit soort sommen voorleggen?

De volgorde van bewerkingen is een onderdeel van de referentieniveaus maar in de nieuwste syllabus is te lezen dat de kale vorm om dit te testen, zoals bovenstaande som, niet meer van leerlingen in de 2F toets gevraagd zal worden.

Hoewel ik ook vind dat dergelijke sommen kunnen verworden tot een heel flauw spel, vind ik er ook wat voor te zeggen om de volgorde van bewerkingen juist wel met kale sommen te oefenen. De reden daarvoor is de rekenmachine. In de context waarin je rekent weet je zelf heel goed welke bewerkingen je eerst moet doen. Je breit de stappen als het ware aan elkaar en daar is weinig onduidelijkheid over. Als je de hele berekening echter in één keer in je rekenmachine zet, dan moet je wel weten wat je rekenmachine daarmee doet.

De meeste moderne rekenmachines (ook op je telefoon) gebruiken de regels voor de volgorde van bewerkingen:

5 – 6 : 3 x 2 + 7 = 8

Er zijn echter ook nog rekenmachines die het indrukken van een nieuwe operator al een deel van de berekening uitvoeren. Je rekent dan strikt van links naar rechts:

5 – 6 : 3 x 2 + 7 = 6 1/3

En nog steeds kom ik leerlingen (én docenten) tegen die “Meneer van Dale… ” gebruiken. Voor leerlingen is het vaak heel vervelend om te ontdekken dat wat ze geleerd hebben niet blijkt te kloppen. Voor hen is:

 

5 – 6 : 3 x 2 + 7 = -3

Dit komt niet overeen met wat de rekenmachine voor ze uit zal rekenen.

Kortom, ik ben er voor dat we leerlingen uitleggen wat een rekenmachine precies doet. Dat betekent dat ze ook zelf dat soort berekeningen in simpele vorm moeten kunnen uitrekenen. Maar ik ben er zeker niet voor om de meest ingewikkelde constructies in toetsen te verwerken. Ik ben heel benieuwd naar jullie mening.

Vermenigvuldigen met lijnen

Via social media probeer ik het reken- en wiskundeonderwijs in andere landen te volgen. Er zijn zoveel docenten actief op bijvoorbeeld pinterest, dat je op deze manier een aardig beeld krijgt van wat ze bezig houdt.

Zo kom ik ook bij golfbeweging het vermenigvuldigen met lijnen tegen; ook wel ‘Mayan multiplication‘ genoemd.

In het kort doe je het volgende:

Als je 21 x 23 uit wilt rekenen, teken je eerst de lijnen die 21 en 23 representeren.
Voor 21 in het voorbeeld teken je 2 zwarte lijnen en daarnaast 1 zwarte lijn; je werkt dus van links naar rechts.
Dan teken je voor 23 de rode lijnen; eerst twee en dan 3; weer van links naar rechts.
Vervolgens ga je snijpunten tellen en zo kom je op het antwoord 483.

Meestal wordt in de filmpjes de methode bejubeld omdat het zoveel makkelijker is om op deze manier te vermenigvuldigen. Wat ik zelf interessant aan deze methode vindt is dat het verder gaat dan zomaar een trucje. Om die reden heb ik hem gebruikt in een les.

Aan het begin van deze les, waarin we bezig waren met het wegwerken van haakjes liet ik een instructiefilmpje over de methode zien. Daarna daagde ik de leerlingen uit of ze me uit konden leggen hoe het werkte.

Veel leerlingen waren door het probleem gegrepen. Er waren echter opvallende verschillen. Een deel van de leerlingen ging me laten zien hoe ik dat met andere getallen kon doen, dus voorbeelden geven van de procedure. Een deel ging onderzoeken hoe je te werk moest gaan in moeilijkere gevallen. Bijvoorbeeld, als er een nul in de te vermenigvuldigen getallen stond, als je met grotere getallen werkt of als het aantal snijpunten in een ‘kolom’ groter is dan 9. Deze leerlingen die vooral op het algoritme gefocust waren daagde ik verder uit om me uit te leggen waarom  je de snijpunten op deze manier moest optellen. Tot slot was er een groep leerlingen die zelf al naar het waarom zocht. Ze kwamen al met een echt (informeel) bewijs.

Een geslaagd experiment dus wat mij betreft. Het was een mooie toepassing van de stof waar de leerlingen aan werkten. De leerlingen werden gedwongen weer even na te denken over de structuur van ons talstelsel en dat bracht verdieping in de stof van die dag. Ik was blij verrast hoeveel leerlingen (ook leerlingen die over het algemeen geen hoge cijfers voor wiskunde haalden) tot een oplossing kwamen. En tot slot vond ik het een mooie kans om leerlingen intuïtief met wiskundig bewijzen kennis te laten maken.

Negen vingers

Met de tafel van 9 is iets bijzonders aan de hand.

9 in 100

Tel je de cijfers van de 9-vouden op, dan is de som ook een 9-voud.

81 is een veelvoud van 9, 8 + 1 = 9 is ook een veelvoud van 9.

Heel informeel kun je zeggen dat als je ergens 9 bij optelt, je er ook voor kunt kiezen om er 10 bij op te tellen en er dan weer 1 vanaf te halen. Of te wel: het tiental gaat 1 omhoog en de eenheid 1 omlaag. Samen blijft het evenveel. Beginnend bij 9 is dat totaal dus altijd 9. Dit gaat in ieder geval op tot 90, voor hogere getallen moet je nog even wat verder redeneren.

Iets formeler  kun je een getal ab schrijven als:
ab = 10a + b = 9a + a + b

9a is zeker deelbaar door 9, dus je houdt a + b over.

Dit vormt de achtergrond van een op internet inmiddels bekende ‘truc’ voor het uitrekenen van de tafel van 9.