Hoe leer je wat je moet doen, als je niet weet wat je moet doen? Wiskundig probleem oplossen kan je helpen.

Op 8 maart 2019 gaf Maarten Müller op de NRCD een workshop over probleemoplossen, en hoe je daar op de basisschool (of eerder) al mee kan beginnen. In deze gastblog gaat hij nader op dit thema in, voor basisonderwijs en voortgezet onderwijs.

Welke stappen kan je volgen om een probleem op te lossen en welke strategieën zijn er allemaal? Op die vragen en meer hoop ik in deze blog antwoord te geven.

Polya beschreef in zijn boek “How to solve it” (1945) welke stappen je achtereenvolgens zet in het proces van probleemoplossen. Laten we die eens nader bekijken en verbinden aan een aantal problemen. Maar eerst,… wat is een probleem eigenlijk?

Een probleem onderscheidt zich van een routinetaak doordat de oplosser moet beslissen met behulp van welke reken-/wiskundige handelingen in welke volgorde een oplossing gevonden moet worden. Het gaat dus om taken waarbij de vraag “Wat moet ik doen?” een grotere rol speelt dan “Hoe moet ik het doen?” Maar let op: Wat eerst een probleem is, kan een routinetaak worden. De eerste keer dat je iets doet (zeker als je geen uitleg hebt gehad)  is er meestal sprake van een probleem, maar na verloop van tijd hoef je niet meer na te denken over wat je achtereenvolgens moet doen. Hoe lang dat duurt, is voor iedereen anders. Vergelijk het maar met achteruit inparkeren van een auto. Voor sommigen blijft het een probleem.

1. Een piraat heeft 2 schatkisten. In de eerste schatkist zit 10 De tweede schatkist is leeg. Elke dag gooit hij 1 euro in de eerste schatkist en 2 euro in de tweede schatkist. Na hoeveel dagen zitten er evenveel euro’s in beide schatkisten?
2. Nick wil de getallen 2 tot en met 10 verdelen in groepjes, zodat de optelling van de getallen in elk groepje steeds hetzelfde is. Wat is het grootste aantal groepjes dat hij kan maken?
3. Gegeven zijn vier getallen. Van elk drietal getallen berekenen we het gemiddelde en tellen daar het vierde getal bij op. We krijgen de volgende vier antwoorden: 17, 21, 23 en 29. Welk getal is het grootste van de vier gegeven getallen?

Hier hebben we problemen,… en wat nu? Vraag het maar aan Polya.

Stap 1: Het probleem begrijpen.
Laten we eens kijken naar het tweede probleem.

“Eerst even goed opletten: 2 tot en met 10, dus 2 en 10 doen zelf ook mee”. “Verdelen in groepjes, hebben we het dan over eerlijk verdelen, dus moeten de groepjes evenveel getallen bevatten of niet?”

Dit probleem te begrijpen kost niet heel veel moeite, maar één keer doorlezen is ook niet zomaar voldoende. Soms moet je eerst gedeeltelijk proberen het probleem op te lossen om het probleem duidelijk te krijgen. Dan ga je weer terug naar deze stap

Nu begrijp je het probleem,… maar dan is het nog niet opgelost? Wat ga je doen?

Stap 2: Het plan ontwerpen.
Er zijn allerlei mogelijke plannen. Het zijn meestal geen standaard stappenplannen, maar vaak slechts globale procedures. Deze procedures noemen we ook wel heuristieken. In deze blog komen een aantal heuristieken aan bod, maar ik zal ze slechts impliciet gebruiken om het stappenplan van Polya duidelijk te maken. In het vervolg op deze blog ga ik nader in verschillende heuristieken.
Laten we eens kijken naar de mogelijke aanpakken bij het eerste probleem. Je zou kunnen proberen om het probleem in het echt na te spelen, je kan kijken of je een berekening kan gebruiken om het probleem op te lossen met behulp van de basisbewerkingen of misschien is het een goed idee om een tabel te maken. Misschien kan je de plannen ook nog wel met elkaar combineren bijvoorbeeld door te beginnen een tabel te maken en dan de regelmaat te zoeken om daarna een berekening uit te voeren.

Gelukkig heb je nu een plan. Nu nog even uitvoeren.

Stap 3: Het plan uitvoeren.
Soms gaat dit eenvoudig en soms valt het tegen. Dan moet je weer terug naar stap 2 om een nieuw plan te kiezen of ontwerpen.
Stel dat je bij het derde probleem als strategie hebben gekozen om uit te gaan proberen in de hoop een patroon te herkennen, zou je bijvoorbeeld kunnen beginnen met , ,  en . De vier genoemde gemiddeldes hierbij zijn , ,  en . Dat komt al aardig in de buurt. Je kan nu het laagste getal aanpassen, zodat het laagste gemiddelde  wordt. je krijgt dan , ,  en . Nu zijn de gemiddeldes , ,  en . Dit komt al aardig in de buurt. Als je een tijdje hebt nagedacht hoe je nu verder moet, blijkt dat het heel erg lastig is om steeds aanpassingen te maken en zo bij het antwoord te komen, omdat alles met elkaar samenhangt. Kortom,… dit gaat misschien niet werken. Dan zou het nu tijd kunnen zijn om terug te gaan naar stap 2. Je volgende poging zou bijvoorbeeld kunnen zijn dat je een stelsel vergelijkingen opstelt, waarbij je de gezochte getallen , ,  en  noemt. En dan kom je weer terug bij stap 3. Na wat gepuzzel kom je uit op , ,  en .

Je hebt een oplossing!!! Klaar? Bijna,…

Stap 4: Terugblikken
Bij het terugblikken doe je verschillende dingen. Je controleert bijvoorbeeld je antwoord. In het hierboven genoemde voorbeeld kan je nogmaals de gemiddeldes uitrekenen nu je de uitkomst denken te kennen. Mocht nu blijken dat het antwoord niet klopt, dan ga je weer terug naar stap 2 of 3. Verder kan je terugblikken op je oplossingsproces. Was dit de handigste methode? Kan je, nu je het antwoord weet, alsnog de eerder gekozen routes tot een goed einde brengen? Hoe had je het beter kunnen doen? Door het terugblikken word je een betere probleemoplosser voor de toekomst.

Bij het terugblikken, vergelijk je, zoals beschreven meerdere mogelijke aanpakken, heuristieken. In het vervolg op deze blog ga ik hier verder op in.