De vragen ‘wat is wiskunde?’ en ‘wat wil je op basis daarvan bereiken in het (reken- en) wiskundeonderwijs?’ zijn voor mij een essentiële start van de discussie over ons onderwijs. Toch hebben we het daar te weinig over.

Dit is het vijfde en laatste deel in de serie naar aanleiding van mijn lezing ‘De cijfers liegen niet’.

Foto door William Warby op Unsplash

De conceptuele kant van wiskunde leren

Terug naar de inhoud van het curriculum. Voor mij is meer aandacht voor de conceptuele kant van de wiskunde (en dus ook rekenen) en kritisch wiskundig denken een belangrijk doel. De maatschappij van morgen (en eigenlijk al van vandaag) vraagt daar steeds meer om. Denk maar aan iets simpels als de abstractie van digitaal geld. Een abstractie die zoveel lastiger is dan contant geld in je portemonnee dat er een grote groep mensen door in de financiële problemen komt.

Zelf* beschrijf ik de conceptuele kant van wiskunde meestal in termen van samenhang, onderliggende wiskundige structuren  en natuurlijk ambiguïteit. Een gevolg daarvan is dat bij de doelen voor het (reken- en) wiskundeonderwijs gaat over meer dan alleen een zorgvuldige uitlijning van onderwerpen en vaardigheden in een leerlijn. Het gaat ook over het opdoen van inzichten en ervaringen en over de ontwikkeling van wiskundig denken in de lange leerlijnen. Als je uitgaat van die visie, dan is een enkele les een onderdeel van een geheel en niet alleen een op zichzelf staande eenheid. Dat betekent dat een les een specifiek doel heeft, maar tegelijkertijd ook een schakel is in de lange keten van wiskunde leren. Dat ervaringen en inzichten later een essentiële, conceptuele basis vormen voor nieuwe onderwerpen.

Eenvoudige voorbeelden zijn eenheid of maatverfijning. Deze concepten kom je werkelijk overal tegen: het echte begrip van wat een maat is en dus wat meten is. De eenheid is dat wat je in een situatie letterlijk één noemt. Het gaat om het idee dat je soms een bepaalde eenheid gebruikt, maar dat die niet altijd adequaat is bijvoorbeeld omdat je niet precies genoeg kunt meten. Het verfijnen van die maat is dan een mooie oplossing. Het introduceren van kommagetallen een andere. Voor leerlingen is een vroege ervaring de onderverdeling van de liniaal in cm en later mm. Dat ditzelfde idee gebruikt wordt in de analoge klok leren leerlingen vaak niet bewust.

Schakels in de keten

Zo zie je dat als je met deze ogen naar lesmateriaal kijkt, je andere dingen ziet dan als je naar losse opgaven kijkt. Met een ander doel voor ogen kun je heel andere conclusies trekken. Het volgende voorbeeld laat dit uitstekend zien.
In zijn afscheidsrede laat Hans van Luit* twee formuleringen van een opgave zien:

A: Bij AH kost een fles vers sap € 4,00. Dat is € 2,00 minder dan bij De Spar. Hoeveel moet ik bij De Spar betalen voor 3 flessen vers sap.
B: Bij AH kost een fles vers sap € 4,00. Bij De Spar kost zo’n fles € 2,00 meer. Hoeveel moet ik bij De Spar betalen voor 3 flessen vers sap.

Deze formuleringen zijn voor hem twee manieren om dezelfde berekening te beschrijven:
Één fles kost bij De Spar 4 + 2 = 6 euro. Drie flessen kosten 3 x 6 = 18 euro.

Het verschil tussen opgaven zit hem in het verschil van standpunt op het prijsverschil.
In opgave A is dat de AH. Bij opgave B is het standpunt De Spar zelf. Van Luit bekijkt de formuleringen vanuit de beoogde berekening en merkt op dat A onnodig lastig geformuleerd is. Op basis daarvan roept hij op om beter op het taalgebruik in opgaven te letten.  Hij betoogt dan ook: “Kleine aanpassingen in aangeboden opgaven kunnen
echter helpend zijn om deze kinderen het leven minder zuur te maken.”

Kijk je naar dit voorbeeld vanuit een wiskundig standpunt en met doorlopende leerlijnen in gedachten dan gaat het om andere doelen dan alleen het uitrekenen van de gevraagde prijs van 3 flessen. Het gaat hier om het bekijken van een situatie vanuit twee standpunten: Vanuit de AH kun je zeggen dat De Spar 2 euro duurder is. Vanuit De Spar is de AH 2 euro goedkoper. Het gaat er hier dus óók om dat kinderen de relatie gaan zien tussen deze twee standpunten. Dat ze minder en meer, en dus ook plus en min, aan elkaar koppelen. Dat ze ontdekken dat het standpunt dat je neemt voor de uitkomst van de berekeningen niet uitmaakt. Maar dat vaak het ene standpunt wel net iets handiger rekent dan het andere. Dat is een inzicht dat je bijvoorbeeld nodig hebt op het moment dat je problemen gaat oplossen en zelf moet kiezen welke variabele je in gaat voeren.
Overigens zou ik dit niet in losse opgaven zoals deze verstoppen. Streef je een dergelijk doel na, dan bereik je dat eerder in de bespreking van contexten als deze. Vooral het maken van een tekening waarbij de relatie tussen de standpunten helder wordt is dan belangrijk.

Onderwijsonderzoek en definitie van succes

Dan nu terug naar een kritisch wiskundige kijk op het gebruik van data en kwantitatieve studie in ons onderwijs en onderwijsonderzoek. We hebben geleerd dat alle begint bij de ‘definitie van succes*’, bij de keuzes die zijn gemaakt voordat het uitrekenen begon. Voor het onderwijs betekent dit dat het altijd begint bij het doel, bij de visie. Bij de idealen en bij wat je wilt bereiken.

In het onderwijs spelen vele doelen. Ik heb het hier gehad over de essentie van wiskunde en wat je leerlingen daarvan mee zou kunnen en willen geven in het onderwijs. Dat zijn slechts enkele aspecten. Het gaat ook om de de inschatting welke vaardigheden onze kinderen uiteindelijk nodig zullen hebben. Voor rekenen en wiskunde zijn dit zaken als algoritmiseren of modelleren en nieuwe onderwerpen zoals fact-checken.

Goed reken-wiskundeonderwijs moet wat mij betreft recht doen aan de wiskunde. Rekenen-wiskunde is een manier van denken, meer dan alleen het leren van losse kennis en vaardigheden. Tegelijkertijd moet goed reken-wiskundeonderwijs recht doen aan de kinderen. Je kunt dat wat mij betreft niet los zien van de pedagogische opdracht en de maatschappelijke opdracht die je jezelf stelt. We hebben meer dan ooit kritische en creatieve denkers nodig in onze maatschappij. Waar computers werk van ons over zullen nemen, zal steeds meer conceptuele begrip hun vermogen creatieve oplossingen te verzinnen van werknemers worden gevraagd. Kritisch denken is bovendien nodig om weerstand te bieden tegen allerlei vormen van manipulatie die ook bij onze huidige maatschappij horen.

Onderwijs dat bijdraagt aan gelijkheid besteed hier juist aandacht aan en laat het ontwikkelen van een positief kritische houden en oog voor conceptuele aspecten en grotere ideeën niet aankomen op wat kinderen van thuis meekrijgen. De verschillen zijn op dit gebied immers groot tussen gezinnen. Men zegt wel eens dat hoe harder veranderingen gaan in de maatschappij, hoe meer het nodig is om kinderen vooral ideeën mee te geven. Te specifieke vaardigheden kunnen immers op een gegeven moment niet meer van toepassing zijn. Alleen op die specifieke vaardigheden het onderwijs inrichten is daarom niet toekomstbestendig. Daan Rovers* geeft een simpel voorbeeld: leren typen lijkt in dit digitale tijdperk een belangrijke vaardigheid en heeft nu zeker waarde. Maar er is een grote kans dat wij over een paar jaar op een andere manier met computers communiceren dan via een toetsenbord.

Samenvattend, wil je wetenschappelijk onderzoek gebruiken om de keuzes die je maakt bij de inrichting van je onderwijs te ondersteunen, dan doet je visie, ofwel jouw definitie van succes, er alles toe.

Kritisch wiskundige kijk op onderwijsonderzoek

Heb je het doel, de definitie van succes, voor ogen, dan kun je de beste vorm bepalen. Nooit andersom!
Wetenschappelijk onderzoek heeft ons heel veel te brengen. Daar moeten we dan ook zorgvuldig mee omgaan. Dat betekent dat het onderzoek moet matchen op het niveau van het doel dat je voor ogen hebt én met de social norms en socio-mathematical norms* die daarbij horen. Matcht dat niet 100%  dan kan onderzoek je eventueel wel meer leren over de mechanismen van leren. Op die manier kan dergelijke kennis je beslissingen in je eigen onderwijscontext voeden.

Dit is waarom ik mij zorgen maak over de ‘evidence based trend’ die er op dit moment in het onderwijs is.

1. Te vaak worden bepaalde onderwijsstrategieën of een bepaalde aanpak aangeprezen als bewezen effectief zonder de juiste context informatie. In welke context het onderzoek is gedaan, welke onuitgesproken uitgangspunten en doelen voor het onderwijs onder het onderzoek liggen en op welke manier dat de afbakening van het onderzoek heeft bepaald, zijn zaken die daarbij niet meer aan de orde komen. Er worden grote uitspraken gedaan zonder de ‘definitie van succes’ te noemen.
2. Er is teveel nadruk op de vorm en te weinig op de inhoud en de kwaliteit van de inhoud.
3. Allerlei soorten van kennis en vaardigheden worden daarbij op één hoop gegooid. Niet zelden wordt er vanuit gegaan dat je die allemaal volgens dezelfde principes zou kunnen aanpakken. Hoe waarschijnlijk is het echter dat wat werkt om de tafels te memoriseren ook de beste methode is om te leren probleem oplossen. Daarbij is het een complicerende factor dat veel onderwijstermen in verschillende paradigma’s een geheel andere betekenis kunnen hebben*.
4. Naar mijn idee wordt er teveel uitgegaan van een soort heilige graal: dé optimale manier van lesgeven voor alle kinderen. Daarbij ga je er aan voorbij dat wat de beste methode is voor een meerderheid van kinderen niet vanzelfsprekend voor alle kinderen de beste manier is.
5. Tot slot vind ik dat er te weinig onderzoek wordt gedaan naar de bij-effecten. We hebben gezien dat het onderwijs een complex geheel van verschillende soorten doelen is. En dat de belangrijkste lessen zich vaak in lange doorlopende leerlijnen ontwikkelen. In kwantitatief onderzoek moet je afbakenen, omdat je model anders te complex wordt en je geen resultaten zichtbaar kunt maken. Dat betekent vaak een afbakening in tijd én in de doelen die je mee kunt nemen. Dat betekent echter dat we weinig zicht hebben op het effect van bepaalde lesaanpakken op andere doelen dan die in het onderzoek zijn meegenomen. Dat betekent dat we niet voldoende zicht hebben op mogelijke negatieve bij-effecten. Zo kan een methode van lesgeven gericht op het inoefenen van vaardigheden een positief effect hebben op de beheersing van die vaardigheid, maar een negatief effect op het creatief probleem oplossend vermogen van leerlingen.

Ik vind dat we dus veel kritischer moeten zijn in het gebruik van wetenschappelijk onderzoek. Juist door kritischer te zijn, krijgt wetenschap meer waarde voor de praktijk.

Meten, meten en nog eens meten?

Foto door Elisa Michelet op Unsplash

Tot slot het meten in het onderwijs. We hebben al gezien dat dat nog niet zo eenvoudig is. Het is bijna onmogelijk om dat wat je wilt weten geïsoleerd te meten. Je meet vaak zoveel meer aspecten dan bedoeld. Zoals bijvoorbeeld bij het voorbeeld in het begin van deze lezing. Als je de vorderingen van een leerling meet, dan meet je in zijn talent voor dat onderwerp én het effect van instructie algemeen én het effect specifiek voor die leerling. Maar nog veel meer dan dat. Als het leerproces nog niet zo vordert als gemiddeld dan hoeft dat niet meteen aan de cognitieve vermogens van het kind te liggen. Of de instructie geschikt was voor deze leerling, of er afleiding was, hoe het kind in zijn vel zit, hoe de docent die dag in zijn vel zat, het talent van de docent etc. Ze tellen allemaal mee in het resultaat.

Ik denk regelmatig dat we flink minder moeten gaan meten in het onderwijs. Zelfs als je je heel bewust bent van dit soort onzekerheden in een meting, als je je realiseert dat de meting maar een bepaalde en beperkte waarde heeft, dan nog laten we ons meer door zo’n cijfer beïnvloeden dan we eigenlijk willen. De valkuil waar we het eerder over hadden: het effect dat cijfers op ons hebben en hoe we daarop toch telkens vertrouwen. Dat gevoel dat er toch waard inzit kan onze intuïtie en professionele inschatting makkelijk verdringen.

Ik denk dat we deze twee meer in evenwicht moeten brengen: het kijken naar kinderen aan de hand van data én met je hart. Vanuit je professionaliteit probeer je in de klas de beste keuzes te maken. Je reflecteert daarop en laat je voeden met nieuwe inzichten. Op deze manier groeit professionele intuïtie. We moeten leren om er steeds meer op te vertrouwen dat dit in de meeste gevallen tot de beste keuzes zal leiden.

Want in elke situatie zeker weten dat we de beste beslissing hebben genomen is een utopie. Het onderwijs is daarvoor veel te complex. We werken met kinderen en zijn een onderdeel van hun (lange) reis naar volwassenheid. En dat is nu juist wat ons vak zo ontzettend mooi maakt.

Notes*

• De begrippen structuur, samenhang en ambiguïteit om de conceptuele kanten van wiskundeonderwijs te beschrijven komen voort uit mijn proefschrift.
• Dit voorbeeld komt uit Hans van Luit:  Verwonderd overdenken: hoe moeilijk kan rekenen zijn.
• ‘Definitie van succes’ is een eenvoudige techniek om kritisch naar cijfermatige informatie te kijken. Ik leg hier uit wat ik daaronder versta.
• Daan Roovers gaf over dit onderwerp een interview.
• Social norms en socio-mathematical norms zijn de onderliggende normen en waarden die bij onderwijs horen. Onder social norms verstaan we de meer algemene normen zoals hoe er wordt aangekeken tegen het maken van fouten. Onder socio-mathematical norms verstaan we die normen die te maken hebben met het beeld van wiskunde. Bijvoorbeeld.
• Hoe het verschil van betekenis van enkele veel gebruikte onderwijstermen de discussie over onderwijs kan bemoeilijken laat ik hier zien.

Op 10 januari gaf ik een lezing op de Panama conferentie onder de titel: De cijfers liegen niet!
De inhoud van deze lezing is verwerkt in een serie blogposts, waarvan dit de tweede is.

Meer lezen?

Deel 1: Objectief
Deel 2: Blind vertrouwen
Deel 3: Beeld van wiskunde
Deel 4: Rekenen en wiskunde
Deel 5: Doelen voor onderwijs