De cijfers liegen niet – deel 4: Rekenen en wiskunde

Steeds vaker wordt het onderscheid tussen rekenen en wiskunde benadrukt. Ik vind het onverstandig om rekenen als een losse entiteit te zien. Waarom is het onderwerp van dit vierde deel in de serie naar aanleiding van mijn lezing “De cijfers liegen niet”.

Foto van Tabea Damm op Unsplash

Betekenis in context

De eerste reden is dat wanneer je wiskunde gebruikt, de uitkomsten van je berekeningen hun betekenis ontlenen aan de context. Conrad Wolfram* laat zien dat voor hem het gebruik van wiskunde uit 4 stappen bestaat. Vrij vertaald zijn dat:

  1. Het stellen van de juiste vraag
  2. Het vertalen van de vraag naar een wiskundige formulering
  3. Het (uit)rekenwerk
  4. De vertaling van de uitkomst naar de gestelde vraag

Wolfram pleit voor een andere focus in ons wiskunde onderwijs. Hij laat zien dat het nog steeds belangrijk is dat kinderen een bepaalde basis leren. Maar hij vraagt zich terecht af of het grootste deel van de aandacht in het onderwijs nog steeds moet gaan naar stap 3. Computers zijn daar immers veel beter in dan wijzelf. Juist het stellen van de juiste vraag en het interpreteren van antwoorden wordt daardoor steeds belangrijker.
Ik ben het daar mee eens. Maar ook om een andere reden vind ik deze indeling van belang. Het laat zien op welke manier de context de waarde van cijfers bepaalt. Stap 1 is het stellen van de juíste vraag. Dat betekent dat je bepaalde keuzes maakt, zelfs nog voor je gaat rekenen. Die keuzes beïnvloeden in sterke mate het antwoord. Het beste kan ik dit uitleggen aan de hand van navigatiesoftware. We gebruiken die om de beste route te berekenen. Maar wat is de beste? Voor de software is die vraag niet concreet genoeg. Je moet de vraag preciezer stellen: de snelste route. Of de kortste. Of misschien wel iets ‘exotisch’ als de veiligste, meest nostalgische, groenste of mooiste route. Bij de kortste route houdt de formule alleen rekening met de afstanden. Bij de snelste spelen actuele verkeerssituatie en maximum snelheden een rol. En voor de andere opties zal gekozen moeten worden hoe deze begrippen te kwantificeren zijn. Al deze keuzes beïnvloeden wat als optimaal uit de berekeningen komt. De snelste route is immers niet altijd de kortste route.

Foto van Joshua Golde op Unsplash

In mijn werk zoek ik naar eenvoudige manieren om kritisch wiskundig denken aan te wakkeren. Een daarvan is ‘definitie van succes’. De navigatiesoftware is daar een duidelijk voorbeeld van. De formules die worden gebruikt (de som van de afstanden, de som van afstand x snelheid, of nog anders) zijn letterlijk de definitie van wat de uitkomst betekent. Van wat het betekent om als de optimale route, de nr 1, uit de berekening te komen.

Dit idee van de ‘definitie van succes’ kun je gebruiken om gerapporteerde uitkomsten van onderzoek te beoordelen. Je gaat terug naar het begin: Wat wordt er precies uitgerekend? en wat betekent het als iets in het onderzoek als het beste naar voren komt?

In wat populairder verslag van onderzoek, of wanneer iemand een onderzoek aanhaalt in een argumentatie, is de definitie van succes vaak niet meer zo goed zichtbaar. Dan wordt er in containerbegrippen gesproken, zoals effectiefst of efficiëntst, zonder nog inzicht te geven in de context waarin de cijfers zijn ontstaan. Vaak blijkt de claim dan veel groter dan wat is onderzocht. En blijken termen niet altijd in elk onderzoek dezelfde betekenis te hebben. Maar wie beter kijkt, ontdekt soms dat de gemaakte keuzes niet altijd overeenstemmen met eigen doelen en uitgangspunten. Wat bijvoorbeeld goed blijkt te zijn voor het leren van ‘platte’ vaardigheden hoeft dat immers niet te zijn voor probleemoplossen.

Toch ligt het er niet altijd alleen aan dat de exacte betekenis van de uitkomsten verloren zijn gegaan in de disseminatie van de resultaten. De definitie van succes legt ook de onbewuste keuzes bloot die bij elk onderzoek spelen. Opvoeding, opleiding, werkveld, het paradigma waarin je werkt. Ze hebben allemaal invloed op wat je op een gegeven moment als vanzelfsprekend aanneemt, en die onderzoek in de sociale wetenschappen mede kleuren. Laten we voorop stellen dat dat op zichzelf niet erg is, dat het in de basis niets afdoet aan de wetenschappelijkheid. Maar alleen zolang we ons er maar bewust van zijn dat deze overtuigingen bestaan. Dat ze zorgen voor vaak onbewuste en vooral onuitgesproken keuzes. En dat je in de interpretatie van onderzoeksresultaten deze context mee moet wegen.

Dat we keuzes maken voordat we zelfs maar beginnen met de wiskundige berekeningen zorgt er voor dat cijfers niet zomaar neutraal of objectief zijn. Pas als je je dat realiseert kun je proberen je vragen zo neutraal mogelijk te stellen, kun je als wetenschapper je best doen hier helder over te schrijven en rapporteren. En kun je als lezer de uitkomsten nog beter op hun echte waarde schatten.

Dat we de uitkomsten van een berekening niet los kunnen zien van de context is een besef dat een plaats verdient in het onderwijs. Ik denk daarom dat we vroeg moeten beginnen om ook Wolfram’s stap 1 te betrekken bij het rekenen. Dat kan om te beginnen door wat vaker dit soort vragen te stellen bij de bestaande sommen in de methode. Maar ook dagelijkse bespreking van het nieuws biedt aanknopingspunten. En uiteindelijk zou mijn wens zijn dat dit onderdeel wordt van het vaste curriculum.

Perspectieven en ambiguïteit

 

De tweede reden dat ik het strikte onderscheid tussen rekenen en wiskunde niet zo verstandig vind, ligt in de wiskunde zelf. Roger Antonsen* laat in zijn lezing zien waar voor hem de essentie van wiskunde het kunnen innemen van meerdere perspectieven is. Hij vergelijkt dat met het begrijpen van de zee. Om die echt te begrijpen moet je als het ware met je voeten in de branding hebben gestaan, er in een bootje op hebben gedobberd, erin hebben gezwommen en het onder de microscoop hebben onderzocht. Om dit te illustreren laat hij ons verschillende manieren zien om naar 4/3 te kijken (of zelfs luisteren). En hij daagt ons uit om elk = teken als een perspectief wissel te zien en te begrijpen.

Ik wil je daarom uitdagen met 3/4 = 3 : 4.
Het eerste is een deel van één geheel. En het tweede zijn 3 gehelen die onder 4 worden verdeeld. Zo vanzelfsprekend is het niet dat dit toch hetzelfde is. Kun je ook echt uitleggen wat hier precies aan de hand is. Een vraag waar we niet zo vaak bij stilstaan. Terwijl het begrijpen dat een breuk een deling is, essentieel is voor het gebruik van breuken in bijvoorbeeld wiskunde, economie, natuurkunde en scheikunde. En juist hierover struikelen veel leerlingen in het VO. In mijn eigen onderzoek zag ik al dat voor veel van deze leerlingen dit begrip nog niet was gevormd en dat ze daarin vastliepen.

Voor mij is de essentie van wiskunde echter niet alleen het bestaan van die verschillende perspectieven en het kunnen wisselen daartussen. Voor mij is belangrijk dat deze perspectieven onlosmakelijk zijn, dat ze verbonden zijn in één concept. We noemen dit ambiguïteit.

Bill Byers legt uit dat wiskunde twee kanten heeft. De logisch deductieve kant kennen de meeste mensen. Het is de procedurele kant van de wiskunde, die van het strikte bewijs. De ambigu metaforische kant van de wiskunde is minder bekend, en bestaat uit de meer creatieve kant. Byers betoogt dat je beide kanten moet kennen om de kracht van wiskunde echt te kunnen gebruiken.

Zelf probeer ik ambiguïteit uit te leggen als de zaken die onverenigbaar lijken maar toch altijd aanwezig zijn in dat ene concept. Als je wiskunde gebruikt staat één kant vaak wat meer vooraan, maar de andere aspecten zijn er ook, en die heb je dan op andere momenten weer nodig. Ambiguïteit is bijvoorbeeld aanwezig in de wiskundige symbolen. Het = teken heeft bijvoorbeeld een procedurele én een relationele betekenis. Als je hem gebruikt op de rekenmachine, dan staat het procedurele voorop, maar ook dat is er een relatie tussen de linkerkant en rechterkant van het teken. Het x teken is verbonden aan herhaald optellen en oppervlakte. Maar ook aan een ‘deel van’. En het : teken kan zowel een deling als een verhouding aanduiden.

Foto door Siora op Unsplash

Om wiskunde echt te begrijpen kun je niet om de ambiguïteit heen. En dat geldt voor alle leerlingen. Sterker nog, heel vaak is de ambiguïteit juist de reden dat leerlingen een obstakel in het leren ervaren. Zeker als je het probeert weg te poetsen. Daarom vind ik dat je ook hier vroeg mee moet beginnen. Dat betekent overigens niet dat je er elke les verwarring mee schopt door ambiguïteit expliciet te benoemen. Maar wel dat je leerlingen er vroeg ervaring mee laat opdoen en het op de belangrijke momenten wel benoemt.

Dat je hier ook echt vroeg mee kunt beginnen laat het volgende voorbeeld zien. Zeg dat je in de kleutergroep de kinderen laat vergelijken welk groepje het meeste is. Bijvoorbeeld aan de hand van knopen. Dan kun je dat op veel verschillende manieren doen. Elk van die manieren vormt weer een basis voor later. De kinderen kunnen de knopen per groepje naast elkaar leggen. Wil je aan de lengte van dat rijtje zien waar er meer zijn, dan is het van belang dat de knopen recht onder elkaar worden gelegd. Inzicht waarom dat zo is draagt bij aan het begrip van ‘aantal’ en het verschil met ‘hoeveelheid’. Een andere manier is om telkens 1 of meer knopen bij elk groepje weg te halen. Het verschil tussen de twee groepen blijft dan even groot. 10 en 8 wordt dan 9 en 7 of 5 en 3. Het verschil blijft 2. Dit is een eerste stap naar het compenseren als strategie en naar vergelijkingen oplossen. Uiteraard kunnen de knopen ook geteld worden. Daarbij hoort het besef dat een groter getal aangeeft dat er meer knopen zijn. En tot slot zouden de knopen ook nog systematisch kunnen worden neergelegd in groepjes van 5 of 10, of worden geturfd. De basis voor begrip van het tientallig stelsel.

In een simpele vraag als ‘in welk groepje liggen meer knopen’ zitten dus vele perspectieven die elk een basis voor later leggen en die aan elkaar gekoppeld moeten worden. Het gaat om zoveel meer dan alleen het correcte antwoord op de vraag.

Doelen en de inrichting van onderwijs

De vragen ‘wat is wiskunde?’ en ‘wat wil je op basis daarvan bereiken in het (reken- en) wiskundeonderwijs?’ zijn voor mij een essentiële start van de discussie over ons onderwijs. Toch hebben we het daar te weinig over. Het begint bij doelen en van daaruit kun je de manieren bekijken om dat te verwezenlijken. In de discussies is dat vaak onderbelicht en gaat het over de instructie en de effectiviteit daarvan. Er wordt gedaan alsof er een algemene consensus is over de beoogde effecten van onderwijs. Maar als je beeld van wiskunde anders is, dan is je doel dat vaak ook. Zonder dit te benoemen kun je vrolijk langs elkaar heen blijven praten.

. . . to be continued . . .


Noten *

 


Op 10 januari gaf ik een lezing op de Panama conferentie onder de titel: De cijfers liegen niet!
De inhoud van deze lezing is verwerkt in een serie blogposts, waarvan dit de tweede is.
Meer lezen?
Deel 1: Objectief
Deel 2: Blind vertrouwen
Deel 3: Beeld van wiskunde
Deel 4: Rekenen en wiskunde
Deel 5: Doelen voor onderwijs

Contact

Heb je vragen? Stuur je bericht dan via het formulier hieronder.