Categorie archief: Structuur, samenhang en ambiguïteit

Een kwestie van perspectief

Meerdere perspectieven in kunnen nemen als voorwaarde om iets echt te kunnen gaan begrijpen. Roger Antonsen noemt het in zijn TED lezing het geheim van de wiskunde.

In deze blog wil ik een van zijn uitspraken eens nader bekijken:

“…. this is an equation. It says that something is equal to something else. And that is two different perspectives.”

Op deze manier naar vergelijkingen kijken kan een mooie manier zijn om ambiguïteit op te sporen. Om er betekenis aan te geven, en daarmee het begrip van leerlingen te vergroten.

Zelf gebruikt Antonsen het voorbeeld x + x = 2x. 
Wat mij betreft zit de kracht van zijn opmerking ook al in minder abstracte onderwerpen.

Bijvoorbeeld 5 + 5 + 5 = 3 x 5:

3keer5

Hierin is een mooie perspectief wissel te zien van losse groepjes naar een rechthoek structuur die een eerste voorloper is van het oppervlakte begrip.

Van daaruit kom je al vrij eenvoudig op de volgende perspectiefwissel: 3 x 5 = 5 x 3

omdraaien

Het aardige van dit voorbeeld is dat er meerdere perspectieven zijn om tegen dit = teken aan te kijken. De eerste is weergegeven in het plaatje en heeft te maken met de twee kijkrichtingen die je kunt kiezen bij een rechthoek. Maar er is ook nog een andere mogelijkheid. We leren kinderen aan dat 5 x 3 betekent dat je vijf keer een hoeveelheid van 3 hebt. Daar maak je in de tekening hierboven ook gebruik van. Het interessante is dat in andere landen ook die duidelijke enkelvoudige betekenis van het keerteken als didactiek is gekozen, maar dat ze de betekenis net andersom leggen. 5 x 3 betekent dan dat je de hoeveelheid 5 drie keer hebt. Je begint met 5 en dat neem je 3 keer. Als je de klemtoon bij het uitspreken van 5 x 3 anders legt dan voel je dat verschil als het ware vanzelf. Ook dit is een mogelijke invalshoek om de twee perspectieven in 3 x 5 = 5 x 3 met elkaar te verbinden.

Als laatste wil ik een iets ingewikkelder concept als voorbeeld geven: ¾ = 3 ÷ 4.

breukenperspectief

Hoe verenig je het perspectief van ¾ als een deel van een geheel met het perspectief van 3 eenheden die je over 4 personen wilt verdelen?

Een mogelijkheid die voor de hand ligt is om de 3 eenheden over 4 personen te verdelen door de 3 helen elk in 4 gelijke stukken te verdelen. Je geeft dan iedere persoon één stukje van elke hele. In totaal krijgt ieder dan 3 stukjes van ¼. Leg je deze aan elkaar dan is dat ¾ per persoon.

De voorbeelden laten zien hoe het = teken aangegrepen kan worden om het verband tussen verschillende perspectieven expliciet en concreet te maken. Ik hoop dat ze de meerwaarde daarvan hebben laten zien. Het zien van meerdere perspectieven en ze zelfs te laten versmelten tot één ambigu concept is wat mij betreft de kracht en schoonheid van wiskunde, maar ook wat het soms een lastig vak maakt. Het expliciet maken van die ambiguïteiten is wat mij betreft een belangrijke stap naar wiskundig begrip.

Ik ben erg benieuwd naar jullie voorbeelden.

Nieuwe ogen

new eyes

Ook deze eerste van de maand een nieuw citaat. Dit keer van Marcel Proust.

In mijn werk houd ik me bezig met het leggen van een wiskundige basis. Ik vind niets mooier dan na te denken over hoe leerlingen hun eerste schreden in de wereld van de wiskunde zo goed mogelijk kunnen zetten. Wat de onderliggende ideeën zijn, waar ze dat latere bouwwerk met vertrouwen kunnen bouwen. De laatste jaren denk ik dus veel na over ogenschijnlijk simpele wiskunde. Ogenschijnlijk, want in die eerste basis liggen de mooiste wiskundige principes verscholen, zoals de ideeën van eenheid, maatverfijning en de structuur a = b/c.

Het kader structuur, samenhang en ambiguïteit heeft me met geheel nieuwe ogen naar de elementaire wiskunde laten kijken. Ik heb de mooiste nieuwe doorkijkjes en verbanden gezien. Zelfs over deze simpele wiskunde viel nog veel te leren!

Voor mij is dit citaat dus meer dan van toepassing.

Eenheid

connection

Dit keer een citaat van de bekende wiskundige David Hilbert.

Wat wiskunde voor mij zo mooi maakt is de enorme samenhang in het vak. Onderliggende concepten, je kunt ze ook ‘big ideas’ noemen, hebben een enorme reikwijdte en kracht.

Het concept ‘eenheid’ is voor mij zo’n krachtig idee dat ligt onder heel veel basale rekenvaardigheden. In reactie op het onderwerp van mijn proefschrift (breuken) zei een wiskundige ooit tegen me: als er teveel breuken in je systeem zitten, dan heb je de verkeerde eenheid gekozen. En dat vat het voor mij eigenlijk wel samen!

Eerder in deze serie:

Knowledge and differenceHet licht zienPoincarreMath is like ice cream, with more flavors

 

 

 

Ambigu

Een heel heldere uiteenzetting over het begrip  ‘ambiguïteit’ heeft in Euclides gestaan in een stuk van de hand van Ronald Meester (pagina 26 van de pdf).

Meester legt o.a. door referenties naar het werk van William Byers een aantal voorbeelden van ambiguïteit uit en geeft aan wat het belang is van ambiguïteit voor de wiskunde.

Het stuk is zeer de moeite van het lezen waard. Hier een tweetal citaten uit het stuk om u lekker te maken:

“Byers laat in zijn boek zien dat wiskunde vooral gaat over ambiguïteit, en veel minder over precisie en logica; de kracht (en schoonheid) van de wiskunde wordt vooral bepaald door de manier waarop ze met ambiguïteit om weet te gaan. Het beschouwen en oplossen van een ambiguïteit is de kern van het bedrijven van wiskunde.”

“Dit is niet makkelijk in de praktijk te brengen, dat geef ik onmiddellijk toe, maar dat mag geen reden zijn om het niet te doen. Wiskunde wordt beduidend leuker wanneer je op een speelse manier leert om te gaan met ambigue situaties dan wanneer ze in een ‘definitie-keurslijf ’ wordt gepropt waarin ze zich niet kan ontwikkelen.”

Bron: Ronald Meester. In reactie op Hessel Pot. Euclides 85/2 pp 76-77

Het licht zien . . .

Het licht zien

 

Een van mijn favoriete fragmenten is de intro van de BBC documentaire over Andrew Wiles. Andrew Wiles is een wiskundige, die lange tijd in eenzaamheid heeft gewerkt aan één van de bekendste problemen uit de wiskunde: de stelling van Fermat.

In die intro beschrijft hij wat voor hem wiskunde is.

“Perhaps I could best describe my experience of doing mathematics
in turns of entering a dark mansion. One goes into
the first room and it’s dark, really dark. One stumbles around
bumping into the furniture. And gradually you learn where each
piece of furniture is. And finally after six months or so you find
the light switch, you turn it on and suddenly it is all illuminated.
You can see exactly where you were.”

Het maakt Wiles emotioneel. Logisch want hij heeft veel opgegeven om tot het bewijs van die beroemde stelling te komen. Ik geloof dat er meer is. Wat Wiles beschrijft is de emotie  van het moment, als na een lange tijd proberen en nadenken ineens alle puzzelstukjes op hun plek vallen. Het moment dat je ineens dieper inzicht krijgt.

Misschien is één van de factoren in het ‘goed in wiskunde zijn’ wel, dat je tegen de onzekerheid kunt die voorafgaat aan het omdraaien van dat lichtknopje. Dat moment waarop je juist veel minder lijkt te snappen dan toen je eraan begon. Het moment dat je vertrouwen moet hebben in de goede afloop.

60 wat?

100_4282

Hoe hard mag je hier rijden? De één zegt 60, de ander 60 kilometer en weer een ander heel netje 60 kilometer per uur.

In het dagelijks leven weten we precies wat er bedoeld wordt, zonder dat we de eenheden erachter zetten. Meestal dan, want bij wandelborden kan het wel eens tricky zijn; die komen in tijd of afstand.

Maar . . . zouden we in de klas niet iets preciezer moeten worden in het gebruik van de eenheden in dit soort contexten?

Voor mij was het tijdens mijn studie in Delft een openbaring toen we bij het vak mechanica leerden om altijd de eenheden te checken; dimensie analyse. We moesten altijd controleren of de eenheden klopten:

snelheid = afstand : tijd
km/u = km : u

De eenheden die je kent verklappen je gewoon hoe je moet rekenen!

Dus afstand uitrekenen als je de snelheid en de tijdsduur weet? De afstand is in km. De snelheid in km/u en de tijd in u. Alleen als je snelheid en tijd met elkaar vermenigvuldigt kloppen de eenheden weer:

snelheid x tijd = afstand
km/u x u = km

Dat hadden ze me best wel veel eerder mogen uitleggen!