Categorie archief: Big ideas uit de vakdidactiek

Het verhaal achter de rekenposters

Voor mijn opdrachtgever Studyflow mocht ik meewerken aan een bijzonder project: rekenposters. Een serie posters waarin je elke keer opnieuw kunt ronddwalen en op ontdekking kunt gaan. En posters vol humor.

Voor elk van de 12 onderwerpen die wij in ons rekenprogramma gebruiken zal een een poster worden ontwikkelt die een overzicht geeft van de stof binnen dat onderwerp. De onderwerpen zijn een verfijning van de 4 domeinen die we kennen uit de referentieniveaus. We zijn begonnen met de posters binnen het domein meten: tijd, metriek stelsel en meetkunde.

In Eliane Gerrits werd een geweldige cartoonist voor dit project gevonden. Zij tekende een wereld vol details, waar ik ook zelfs na de vele nakijkrondes, nog steeds nieuwe dingen in ontdek. De posters zijn zo gemaakt dat leerlingen er eenvoudig een foto van kunnen nemen. Op deze manier kunnen ze er telkens weer even naar kijken. Juist die herhaling in combinatie met humor in plaats van alleen een overzicht van de stof vinden wij een mooie aanvulling op de gebruikelijke samenvattingen.

In elk van de posters zit een verhaal, zoals ook bij ‘tijd’. Maatverfijning is bij het leren klokkijken en rekenen met tijd een van de big ideas waar leerlingen mee te maken krijgen: één wijzer is voldoende, maar we hebben een tweede en een derde wijzer om de tijd met meer precisie af te kunnen lezen. (Dit in tegenstelling tot de gedachte dat de kleine wijzer voor de uren is en de grote voor de minuten.) Ook wanneer je bijvoorbeeld snelheden om moet rekenen, heb je dit idee van maatverfijning en het wisselen van eenheid nodig.

Maatverfijning is in de poster vertaald in de weg die van het verleden naar het heden loopt, en waar de wereld steeds meer haast lijkt te krijgen en alles steeds nauwkeuriger moet.

Verder zijn de in  poster heel veel digitale en analoge klokken verstopt. Helaas hoor ik van veel docenten in met name het MBO dat er een te grote groep leerlingen is die moeite heeft met klokkijken. Op een bepaalde leeftijd proberen ze dat te verbergen. In de poster hebben we de klokken dan ook verspreid, zodat deze leerlingen ongemerkt toch ook hier kennis op kunnen doen.

En uiteraard komen ook de kalender en het rekenen met snelheid aan de orde.

Compartmentalization

Phases of the moon

Een van de belangrijkste inzichten uit mijn proefschrift is wat ik ‘compartmentalization’ (verkokering) heb genoemd bij het vermenigvuldigen van breuken.

De term compartmentalization vond ik onder andere in een artikel van Yrjö Engeström geweest: Non scolae sed vitae discimus: Toward overcoming the encapsulation of school learning.

In dit artikel beschrijft Engeström onder andere hoe er verschillende modellen worden gebruikt voor het uitleggen van de “phases of the moon” en “lunar eclipse”. Hij heeft twee problemen met deze modellen. Als tweede noemt hij dat het model niet door de leerlingen zelf wordt gemaakt, maar in zijn uiteindelijke vorm wordt voorgeschoteld. Vooral het door hem als eerste probleem geformuleerde triggerde me. Engeström verwoordt dat als volgt.

First, the relationship between the phases of the moon (especially the new moon) and the lunar eclipse is not problematized in any of the textbooks. The lunar eclipse is presented with the help of an equally simple and graphic diagram as the one used in connection with the phases of the moon. But it is presented as the next topic, neatly separated from the discussion of the phases of the moon. This is a prime example of the ‘discrete tasks’ Levy (1976) named as the basic form of compartmentalization. The connection is never worked out. Obviously there is no automatic guarantee that such connections are realized in everyday learning outside school either.”

(In het artikel is niet precies te zien welke modellen Engeström bedoelt. In het plaatje boven dit artikel heb ik de gebruikelijke modellen getekend. )

Het voorbeeld geeft wat mij betreft duidelijk aan waarom verkokering ongewenst is. Het heeft duidelijke overeenkomsten met wat ik verkokering van het vermenigvuldigen van breuken heb genoemd. Het voorbeeld laat bovendien zien dat verkokering in allerlei soorten onderwijs kan voorkomen. In mijn onderzoek kwam het voor in een ‘realistische’ methode. Het voorbeeld van Engeström gaat over veel meer traditioneel onderwijs.

Ambigu

Een heel heldere uiteenzetting over het begrip  ‘ambiguïteit’ heeft in Euclides gestaan in een stuk van de hand van Ronald Meester (pagina 26 van de pdf).

Meester legt o.a. door referenties naar het werk van William Byers een aantal voorbeelden van ambiguïteit uit en geeft aan wat het belang is van ambiguïteit voor de wiskunde.

Het stuk is zeer de moeite van het lezen waard. Hier een tweetal citaten uit het stuk om u lekker te maken:

“Byers laat in zijn boek zien dat wiskunde vooral gaat over ambiguïteit, en veel minder over precisie en logica; de kracht (en schoonheid) van de wiskunde wordt vooral bepaald door de manier waarop ze met ambiguïteit om weet te gaan. Het beschouwen en oplossen van een ambiguïteit is de kern van het bedrijven van wiskunde.”

“Dit is niet makkelijk in de praktijk te brengen, dat geef ik onmiddellijk toe, maar dat mag geen reden zijn om het niet te doen. Wiskunde wordt beduidend leuker wanneer je op een speelse manier leert om te gaan met ambigue situaties dan wanneer ze in een ‘definitie-keurslijf ’ wordt gepropt waarin ze zich niet kan ontwikkelen.”

Bron: Ronald Meester. In reactie op Hessel Pot. Euclides 85/2 pp 76-77

Phil Daro tegen ‘answer getting’

kanarie

In een filmpje van Phil Daro op Vimeo legt hij uit dat hem in de analyse van lessen in Amerika en Japan een subtiel, maar wezenlijk verschil opviel in de aanpak van de docent.

Aan het begin van zijn lezing zegt hij daarover: “It took years for me to finally see the obvious”.

Hij beschrijft dit verschil als

  • In Amerika: “How can I teach my kids to get the answer to this problem?”
  • In Japan: “How can I use this problem to teach the mathematics of this unit?”

Deze verschillen blijken onafhankelijk van het talent van de docent en bovendien ook onafhankelijk van het type onderwijs dat de docent volgt (traditioneel of meer reform)

Verder gaat hij in op de vraag waarom leerlingen vraagstukken/problemen moeten oplossen. Hij benadrukt dat antwoorden een deel van het proces zijn en niet het produkt. Het produkt is de wiskundige kennis en know-how van de leerling. Natuurlijk is de correctheid van het antwoord ook een belangrijk deel van het proces.

Een andere interessante gedachte in Daro’s betoog is de rol van foute antwoorden. Door te bedenken waarom het antwoord fout is, is het makkelijker tot de wiskunde te komen, dan wanneer een antwoord goed is, geeft hij aan. Daarnaast vertelde hij over een verwijt die een Japanse docent hen maakte over de Amerikaanse manier van lesgeven. Deze docent gaf aan dat in Amerika, een fout wordt gezien als het probleem van de leerling die die fout maakt, dat moet gediagnosticeerd en opgelost. In plaats daarvan kun je de foute aanpak ook zien als ‘de kanarie in de mijn’, als iets dat iedereen in de klas kan overkomen. Erover praten waarom het fout is zal ook de kennis van die leerlingen die het goede antwoord snel wisten verder verdiepen is de redenering.

Hij besluit met te zeggen dat er van alles aan het curriculum wordt toegevoegd, daarmee doelt hij op ‘answer getting methods’ en dat daarnaast van alles wordt weggelaten en daarmee doelt hij dan op de wiskunde.

Perplexity

Mensen die mij en mijn werk al wat langer kennen, weten dat ik een fan ben van het werk van Dan Meyer.

Dan Meyer is misschien wel het meest bekend in Nederland van zijn TED-talk.  Voor mijn studenten is dat inmiddels ‘vaste kost’.  In deze lezing zegt hij een aantal interessante dingen, waar ik te zijner tijd nog over zal schrijven.

lezing perplexity

Nu wil ik het hebben over een andere lezing die hij heeft gegeven: de openingslezing van de CUE 2014. Hierin beschrijft Meyer zijn ‘ed tech mission statement’. Heel terecht merkt hij op dat een educatief ict beleid, dat is gericht op het gebruik van specifieke software, geen duurzaam beleid is. Hij kiest voor een andere insteek. Hij zoekt naar een doel en vindt die in perplexity. Meer specifiek zoekt hij naar software die hem helpt in de drie volgende stappen:

  • Capture perplexity
  • Share perplexity
  • Resolve perplexity

Maar wat is nu perplexity?

Meyer beschrijft perplexity in termen van wat het niet is. Het is niet ‘boredom’: als een leerling iets niet weet en het ook helemaal niet wil weten. Het is ook geen ‘confusion’: als een leerling iets niet weet, dat wel zou willen, maar niet gelooft dat het in zijn macht ligt om het te snappen. Perplexity is een situatie waarin een leerling iets niet weet, het wel zou willen weten en ook gelooft dat het in zijn macht ligt om het te snappen. In dat soort situaties ziet hij de meest krachtige leermomenten.

Hij is dus constant op zoek naar dit soort ideeën. Ze kunnen bestaan uit bestaande filmpjes die nieuwsgierigheid oproepen, foto’s of bijvoorbeeld herkenbare situaties. Vervolgens bewerkt hij deze ideeën zodat ze geschikt zijn om in zijn klas te delen. Hij start de les met dit materiaal en gaat dan met zijn leerlingen op zoek naar het antwoord. Daarbij gebruiken en ontdekken ze de wiskunde als vanzelf.  ICT kan hierbij eventueel een ondersteunende rol spelen.

Wil je een keer een les op zo’n manier geven, dan raad ik dus zeker deze video aan. In mijn blogs zal ik ook een aantal ideeën gaan delen die je als een dergelijke start van de les kunt gebruiken.