Categorie archief: Vakdidactiek

Nieuwe ogen

new eyes

Ook deze eerste van de maand een nieuw citaat. Dit keer van Marcel Proust.

In mijn werk houd ik me bezig met het leggen van een wiskundige basis. Ik vind niets mooier dan na te denken over hoe leerlingen hun eerste schreden in de wereld van de wiskunde zo goed mogelijk kunnen zetten. Wat de onderliggende ideeën zijn, waar ze dat latere bouwwerk met vertrouwen kunnen bouwen. De laatste jaren denk ik dus veel na over ogenschijnlijk simpele wiskunde. Ogenschijnlijk, want in die eerste basis liggen de mooiste wiskundige principes verscholen, zoals de ideeën van eenheid, maatverfijning en de structuur a = b/c.

Het kader structuur, samenhang en ambiguïteit heeft me met geheel nieuwe ogen naar de elementaire wiskunde laten kijken. Ik heb de mooiste nieuwe doorkijkjes en verbanden gezien. Zelfs over deze simpele wiskunde viel nog veel te leren!

Voor mij is dit citaat dus meer dan van toepassing.

Week van de fout – marge

foutenmarge

Schatten lijkt een eigen plek te hebben verovert in ons onderwijs. Als middel voor reflectie, namelijk, voldoet het exact uitgerekende antwoord aan onze vooraf gegeven schatting, gebruiken we een schatting maar zelden. Het maken van schattingen lijkt daarentegen een op zichzelf staande opgavensoort te zijn geworden, met hele specifieke regels.

Zo vertelden laatst een aantal kinderen me verontwaardigd dat het hun antwoord fout gerekend was. Het ging om het geven van een schatting voor 7560 : 29. De meiden hadden dit uitgerekend als 7560 : 30, want ook de 60 was makkelijk door 30 te delen. Hun antwoord 252 vonden ze dus een uitstekende schatting. Hun docente vond echter, net als het antwoordenboekje, alleen 250 correct. De regel is dat je van beide getallen een mooi rond getal maken: 7500 : 30 = 250.

Ik vind het ontzettend jammer dat we bij het schatten nooit de kwaliteit van onze schatting meenemen. Of eigenlijk een inschatting van de grootte van de fout die we met onze schatting maken. In dit geval had je het kunnen hebben over de ordegrootte van 7500 en 30. Dat de getallen behoorlijk in grootte verschillen en dat daardoor de fout die je maakt door 29 af te ronden op 30 ook groter zal zijn. Je kunt hier met leerlingen nadenken of het geschatte antwoord groter of kleiner zal zijn dan het echte antwoord. In dit geval betekent 29 vervangen door 30 dat de schatting te laag zal zijn. Het is dus niet zo verstandig om ook 7560 naar beneden af te ronden. Daarmee wordt de schatting alleen maar slechter. Zo redenerend kwamen we op een hernieuwde schatting van 260. En inderdaad het exacte antwoord is ongeveer 260,7.

Ik zou er dus voor willen pleiten om meer aandacht aan de kwaliteit van schattingen te besteden en daarmee meer diepgang te zoeken in het begrip van de basisbewerkingen.

 

note: Niet elke leerling zal overigens op hetzelfde niveau hoeven te kunnen schatten. En niet elke situatie vraagt om dezelfde nauwkeurigheid.

Meneer van Dale wacht niet meer

MVDWOA

Het lijkt eenvoudig: wat is het antwoord op bovenstaande som?Toch kunnen dit soort sommen een hele discussie (op internet) teweeg brengen.

Het lijkt allemaal wat flauw. Want bij twijfel of vermoeden van mogelijke miscommunicatie kun je ook gewoon wat extra haakjes zetten. Moeten we leerlingen dan echt dit soort sommen voorleggen?

De volgorde van bewerkingen is een onderdeel van de referentieniveaus maar in de nieuwste syllabus is te lezen dat de kale vorm om dit te testen, zoals bovenstaande som, niet meer van leerlingen in de 2F toets gevraagd zal worden.

Hoewel ik ook vind dat dergelijke sommen kunnen verworden tot een heel flauw spel, vind ik er ook wat voor te zeggen om de volgorde van bewerkingen juist wel met kale sommen te oefenen. De reden daarvoor is de rekenmachine. In de context waarin je rekent weet je zelf heel goed welke bewerkingen je eerst moet doen. Je breit de stappen als het ware aan elkaar en daar is weinig onduidelijkheid over. Als je de hele berekening echter in één keer in je rekenmachine zet, dan moet je wel weten wat je rekenmachine daarmee doet.

De meeste moderne rekenmachines (ook op je telefoon) gebruiken de regels voor de volgorde van bewerkingen:

5 – 6 : 3 x 2 + 7 = 8

Er zijn echter ook nog rekenmachines die het indrukken van een nieuwe operator al een deel van de berekening uitvoeren. Je rekent dan strikt van links naar rechts:

5 – 6 : 3 x 2 + 7 = 6 1/3

En nog steeds kom ik leerlingen (én docenten) tegen die “Meneer van Dale… ” gebruiken. Voor leerlingen is het vaak heel vervelend om te ontdekken dat wat ze geleerd hebben niet blijkt te kloppen. Voor hen is:

 

5 – 6 : 3 x 2 + 7 = -3

Dit komt niet overeen met wat de rekenmachine voor ze uit zal rekenen.

Kortom, ik ben er voor dat we leerlingen uitleggen wat een rekenmachine precies doet. Dat betekent dat ze ook zelf dat soort berekeningen in simpele vorm moeten kunnen uitrekenen. Maar ik ben er zeker niet voor om de meest ingewikkelde constructies in toetsen te verwerken. Ik ben heel benieuwd naar jullie mening.

Ambigu

Een heel heldere uiteenzetting over het begrip  ‘ambiguïteit’ heeft in Euclides gestaan in een stuk van de hand van Ronald Meester (pagina 26 van de pdf).

Meester legt o.a. door referenties naar het werk van William Byers een aantal voorbeelden van ambiguïteit uit en geeft aan wat het belang is van ambiguïteit voor de wiskunde.

Het stuk is zeer de moeite van het lezen waard. Hier een tweetal citaten uit het stuk om u lekker te maken:

“Byers laat in zijn boek zien dat wiskunde vooral gaat over ambiguïteit, en veel minder over precisie en logica; de kracht (en schoonheid) van de wiskunde wordt vooral bepaald door de manier waarop ze met ambiguïteit om weet te gaan. Het beschouwen en oplossen van een ambiguïteit is de kern van het bedrijven van wiskunde.”

“Dit is niet makkelijk in de praktijk te brengen, dat geef ik onmiddellijk toe, maar dat mag geen reden zijn om het niet te doen. Wiskunde wordt beduidend leuker wanneer je op een speelse manier leert om te gaan met ambigue situaties dan wanneer ze in een ‘definitie-keurslijf ’ wordt gepropt waarin ze zich niet kan ontwikkelen.”

Bron: Ronald Meester. In reactie op Hessel Pot. Euclides 85/2 pp 76-77

60 wat?

100_4282

Hoe hard mag je hier rijden? De één zegt 60, de ander 60 kilometer en weer een ander heel netje 60 kilometer per uur.

In het dagelijks leven weten we precies wat er bedoeld wordt, zonder dat we de eenheden erachter zetten. Meestal dan, want bij wandelborden kan het wel eens tricky zijn; die komen in tijd of afstand.

Maar . . . zouden we in de klas niet iets preciezer moeten worden in het gebruik van de eenheden in dit soort contexten?

Voor mij was het tijdens mijn studie in Delft een openbaring toen we bij het vak mechanica leerden om altijd de eenheden te checken; dimensie analyse. We moesten altijd controleren of de eenheden klopten:

snelheid = afstand : tijd
km/u = km : u

De eenheden die je kent verklappen je gewoon hoe je moet rekenen!

Dus afstand uitrekenen als je de snelheid en de tijdsduur weet? De afstand is in km. De snelheid in km/u en de tijd in u. Alleen als je snelheid en tijd met elkaar vermenigvuldigt kloppen de eenheden weer:

snelheid x tijd = afstand
km/u x u = km

Dat hadden ze me best wel veel eerder mogen uitleggen!