Categorie archief: Basisonderwijs

Puzzel

Inmiddels al bij een aantal gelegenheden heb ik mijn publiek een puzzel voorgelegd dat ik ooit in de vakdidactische literatuur vond.

getrouwd

De opgave

In een dorp is 2/3 deel van de vrouwen getrouwd en 3/4 deel van de mannen. Welk deel van de bevolking is getrouwd?

note: de puzzel heeft een oorsprong in een land waar op dat moment homohuwelijken nog niet waren toegestaan. Je mag er dus vanuit gaan dat er alleen huwelijken tussen man en vrouw zijn.

De oplossing

Het mooie van deze opgave vind ik dat het op heel verschillende manieren op te lossen is; algebraïsch, met het zoeken naar een getallenvoorbeeld maar ook visueel. Hieronder vind je een visuele oplossing.

Je kunt de situatie in de puzzel op de volgende manier tekenen:

model

De bovenste strook stelt de vrouwen in het dorp voor. De onderste strook de mannen. 2/3 deel van de vrouwen is in aantal evenveel als 3/4 van de mannen.

Om te kunnen bepalen welk deel van de gehele bevolking getrouwd is moet een ondermaat gekozen worden, waardoor alle stukken even groot worden. Dat kunnen we doen door van het getrouwde deel 6 even grote stukken te maken.

oplossing

Je verdeelt de stroken dan in kleinere gelijke delen:

2/3 = 6/9 en 3/4 = 6/8

In totaal 12/17 deel van de inwoners van dit dorp getrouwd.

Deze oplossing laat zien dat wanneer je precies tekent wat de situatie in de puzzel is, en je het basisprincipe van breuken begrijpt, deze puzzel ook door basisschoolleerlingen (samen) goed op te lossen is.

Design week (at school)

sphero2_klaarvoordestart

Leerlingen programmeren de Sphero 2.0, en laten de bal een hindernis parcours afleggen

Afgelopen week heb ik genoten van een heel bijzonder project op De Koningslinde in Vught. De Koningslinde is een jonge school die dit jaar zijn derde schooljaar draait. De school is actief bezig om ‘onderwijs van de toekomst’ vorm te geven en daarin haar weg te vinden. Dat geeft inspiratie voor én ruimte aan bijzondere initiatieven zoals de Koningslinde Design Week die afgelopen week het schoolgebouw vulde.

De Koningslinde Design Week (http://designweekatschool.nl/)  is georganiseerd door Floor Coonen en Jan Willem Goes. Als ouders en vanuit hun eigen professie zagen zij mogelijkheden om 21st century skills en computational thinking een rijkere invulling te geven. Zo ontstond het initiatief voor de Design Week.

Op maandag werd de week geopend door de burgemeester van Vught. Daarna gingen de leerlingen dagelijks in verschillende ‘labs’ aan de slag. In grote lijnen bestond het programma uit twee onderdelen: het kennismaken met programmeren (computational thinking) en het kennismaken met design thinking. Het thema van de week was fietsen naar school. Op donderdag en vrijdag gingen leerlingen met hun opgedane kennis van de eerste dagen én de principes van design thinking aan de slag om een technisch product te ontwerpen dat zou helpen alle leerlingen, ouders en docenten op de fiets naar school te laten komen. Vrijdag middag werden de prototypes van deze producten aan ouders, pers en andere belangstellenden gepresenteerd.

Er zijn een aantal redenen waarom ik dit stuk begon met: “Afgelopen week heb ik genoten… “. De eerste is de energie die ik de dagen dat ik op school was voelde; van leraren, ouders en natuurlijk stralende leerlingen.  De tweede reden is omdat ik zag hoe ontzettend veel de leerlingen afgelopen week geleerd hebben. De derde reden is dat deze week een ontzettend mooi voorbeeld is van de rol die ouders in een school kunnen spelen.  De kennis die zij vanuit het bedrijfsleven binnen kunnen brengen is wat mij betreft zeker op het gebied van de ICT en techniek heel waardevol. Daarnaast denk ik dat het een uitstekende manier is om rolmodellen voor technische beroepen de school binnen te laten komen. Kortom: een zeer geslaagde week. En het mooie is: dit initiatief lijkt vervolg te gaan krijgen op andere scholen.

Eenheden, tientallen, honderdtallen en duizendtallen

Rick Lax noemt zichzelf deception expert en post verschillende filmpjes op youtube die je op het verkeerde been zetten. Wiskunde speelt een rol in verschillende goocheltrucs, zo ook in de onderstaande truc:

Ik heb deze truc ook al een aantal keren live gezien, en een groot deel van het publiek geeft het foute antwoord.

De truc is simpel, omdat je zo in de duizendtallen zit, heeft iedereen de neiging om de tien tientallen in te wisselen voor een duizendtal. Daarmee kan het een mooie intro zijn voor het optellen van natuurlijke getallen; het maakt de kinderen bewust van de waarde van de verschillende posities in het getal.

Week van de fout – marge

foutenmarge

Schatten lijkt een eigen plek te hebben verovert in ons onderwijs. Als middel voor reflectie, namelijk, voldoet het exact uitgerekende antwoord aan onze vooraf gegeven schatting, gebruiken we een schatting maar zelden. Het maken van schattingen lijkt daarentegen een op zichzelf staande opgavensoort te zijn geworden, met hele specifieke regels.

Zo vertelden laatst een aantal kinderen me verontwaardigd dat het hun antwoord fout gerekend was. Het ging om het geven van een schatting voor 7560 : 29. De meiden hadden dit uitgerekend als 7560 : 30, want ook de 60 was makkelijk door 30 te delen. Hun antwoord 252 vonden ze dus een uitstekende schatting. Hun docente vond echter, net als het antwoordenboekje, alleen 250 correct. De regel is dat je van beide getallen een mooi rond getal maken: 7500 : 30 = 250.

Ik vind het ontzettend jammer dat we bij het schatten nooit de kwaliteit van onze schatting meenemen. Of eigenlijk een inschatting van de grootte van de fout die we met onze schatting maken. In dit geval had je het kunnen hebben over de ordegrootte van 7500 en 30. Dat de getallen behoorlijk in grootte verschillen en dat daardoor de fout die je maakt door 29 af te ronden op 30 ook groter zal zijn. Je kunt hier met leerlingen nadenken of het geschatte antwoord groter of kleiner zal zijn dan het echte antwoord. In dit geval betekent 29 vervangen door 30 dat de schatting te laag zal zijn. Het is dus niet zo verstandig om ook 7560 naar beneden af te ronden. Daarmee wordt de schatting alleen maar slechter. Zo redenerend kwamen we op een hernieuwde schatting van 260. En inderdaad het exacte antwoord is ongeveer 260,7.

Ik zou er dus voor willen pleiten om meer aandacht aan de kwaliteit van schattingen te besteden en daarmee meer diepgang te zoeken in het begrip van de basisbewerkingen.

 

note: Niet elke leerling zal overigens op hetzelfde niveau hoeven te kunnen schatten. En niet elke situatie vraagt om dezelfde nauwkeurigheid.

Hexaflexagon en andere vouwsels

flexa

Een papier heeft twee kanten, en toch lijkt de hexaflexagon hierboven er 3 te hebben. In ieder geval kun je door te vouwen 3 verschillende afbeeldingen maken.

Een hexaflexagon is eenvoudig te maken. Je hebt alleen een strook van 10 gelijkzijdige driehoeken nodig, die je op de juiste manier in elkaar moet vouwen. De zoekterm levert op google templates en instructies op. Het filmpje van Vi Hart is misschien niet de beste instructie om de hexaflexagon te maken, maar wel erg leuk om te laten zien.

Dit soort figuren vind ik altijd iets magisch hebben. Ik weet nog steeds dat we bij tekenen op de middelbare school zelf de bouwplaat voor de bekende kaleidocycle moesten tekenen en deze vervolgens mochten kleuren. Een uitstekende toepassing voor de constructie van gelijkzijdige driehoeken!

Nu zijn dit niet de enige wiskundig getinte vouwsels. Op mijn pinterest pagina heb ik er daarom een bord voor aangemaakt. En al zoekend kwam ik op de site van Florine Meijer: Wisknutsels. Hier vind je nog meer inspiratie.

Tafels oefenen …. of nee: herhalen!

)tafels

Tafels oefenen; het blijft een heikele kwestie. Net als de staartdeling is het een icoon geworden van de richtingenstrijd in het rekenonderwijs.

Over die richtingenstrijd en de zin van tafels dit keer niets. Ik kwam dit tafelblad en die wil ik jullie niet onthouden. Het roept namelijk een interessant wiskundige vraag op.

Hoe groot is de kans dat, bij het random genereren van sommen voor een dergelijk tafelblad, in één rijtje precies 3 keer dezelfde som voorkomt?

Ga er daarbij vanuit dat bij de tafel van 6 alleen sommen van het type ….. x 6 voorkomen en dat op de ….. de getallen 0 tot en met 10 kunnen staan.

p.s. Over de a-symmetrie van de tafels zal ik nog wel een keer een post schrijven.

De krant en gedachtenlezen

Wat kunnen wiskunde en magie toch mooi samen gaan.

Het programma “de magische winkel” op de publieke omroep laat daar vaak mooie voorbeelden van zien.

Zo ook een truc met een krant:

  • Je vouwt de krant open en je knipt de hoekjes met de pagina nummers van de krant af.
  • Je legt die twee stapeltjes met hoekjes neer
  • Dan laat je iemand uit het publiek 2 hoekjes kiezen. Dat doe je door telkens de bovenste twee hoekjes (van elk stapeltje één) te laten zien en te vragen of die het moeten worden.
  • Op elk hoekje staan 2 nummers. Laat de proefpersoon de 4 nummers optellen: hij krijgt dan een getal dat je gaat gebruiken als paginanummer.
  • Je doet een blinddoek om  en laat de persoon in een boek dat je mee hebt gebracht de pagina van de som opzoeken.
  • Je vraagt de persoon heel goed aan die pagina te denken en dan begin je precies te beschrijven wat er op die pagina staat.

Het lijkt me een mooie start van de les. Bijvoorbeeld wanneer je het over compenseren, of sommen met dezelfde uitkomst wilt hebben.

Ik ben erg benieuwd naar jullie ervaringen, dus als je het hebt uitgeprobeerd dan hoor ik hieronder graag hoe het is gegaan.

Meneer van Dale wacht niet meer

MVDWOA

Het lijkt eenvoudig: wat is het antwoord op bovenstaande som?Toch kunnen dit soort sommen een hele discussie (op internet) teweeg brengen.

Het lijkt allemaal wat flauw. Want bij twijfel of vermoeden van mogelijke miscommunicatie kun je ook gewoon wat extra haakjes zetten. Moeten we leerlingen dan echt dit soort sommen voorleggen?

De volgorde van bewerkingen is een onderdeel van de referentieniveaus maar in de nieuwste syllabus is te lezen dat de kale vorm om dit te testen, zoals bovenstaande som, niet meer van leerlingen in de 2F toets gevraagd zal worden.

Hoewel ik ook vind dat dergelijke sommen kunnen verworden tot een heel flauw spel, vind ik er ook wat voor te zeggen om de volgorde van bewerkingen juist wel met kale sommen te oefenen. De reden daarvoor is de rekenmachine. In de context waarin je rekent weet je zelf heel goed welke bewerkingen je eerst moet doen. Je breit de stappen als het ware aan elkaar en daar is weinig onduidelijkheid over. Als je de hele berekening echter in één keer in je rekenmachine zet, dan moet je wel weten wat je rekenmachine daarmee doet.

De meeste moderne rekenmachines (ook op je telefoon) gebruiken de regels voor de volgorde van bewerkingen:

5 – 6 : 3 x 2 + 7 = 8

Er zijn echter ook nog rekenmachines die het indrukken van een nieuwe operator al een deel van de berekening uitvoeren. Je rekent dan strikt van links naar rechts:

5 – 6 : 3 x 2 + 7 = 6 1/3

En nog steeds kom ik leerlingen (én docenten) tegen die “Meneer van Dale… ” gebruiken. Voor leerlingen is het vaak heel vervelend om te ontdekken dat wat ze geleerd hebben niet blijkt te kloppen. Voor hen is:

 

5 – 6 : 3 x 2 + 7 = -3

Dit komt niet overeen met wat de rekenmachine voor ze uit zal rekenen.

Kortom, ik ben er voor dat we leerlingen uitleggen wat een rekenmachine precies doet. Dat betekent dat ze ook zelf dat soort berekeningen in simpele vorm moeten kunnen uitrekenen. Maar ik ben er zeker niet voor om de meest ingewikkelde constructies in toetsen te verwerken. Ik ben heel benieuwd naar jullie mening.