Categorie archief: Lesidee

Puzzel

Inmiddels al bij een aantal gelegenheden heb ik mijn publiek een puzzel voorgelegd dat ik ooit in de vakdidactische literatuur vond.

getrouwd

De opgave

In een dorp is 2/3 deel van de vrouwen getrouwd en 3/4 deel van de mannen. Welk deel van de bevolking is getrouwd?

note: de puzzel heeft een oorsprong in een land waar op dat moment homohuwelijken nog niet waren toegestaan. Je mag er dus vanuit gaan dat er alleen huwelijken tussen man en vrouw zijn.

De oplossing

Het mooie van deze opgave vind ik dat het op heel verschillende manieren op te lossen is; algebraïsch, met het zoeken naar een getallenvoorbeeld maar ook visueel. Hieronder vind je een visuele oplossing.

Je kunt de situatie in de puzzel op de volgende manier tekenen:

model

De bovenste strook stelt de vrouwen in het dorp voor. De onderste strook de mannen. 2/3 deel van de vrouwen is in aantal evenveel als 3/4 van de mannen.

Om te kunnen bepalen welk deel van de gehele bevolking getrouwd is moet een ondermaat gekozen worden, waardoor alle stukken even groot worden. Dat kunnen we doen door van het getrouwde deel 6 even grote stukken te maken.

oplossing

Je verdeelt de stroken dan in kleinere gelijke delen:

2/3 = 6/9 en 3/4 = 6/8

In totaal 12/17 deel van de inwoners van dit dorp getrouwd.

Deze oplossing laat zien dat wanneer je precies tekent wat de situatie in de puzzel is, en je het basisprincipe van breuken begrijpt, deze puzzel ook door basisschoolleerlingen (samen) goed op te lossen is.

Eenheden, tientallen, honderdtallen en duizendtallen

Rick Lax noemt zichzelf deception expert en post verschillende filmpjes op youtube die je op het verkeerde been zetten. Wiskunde speelt een rol in verschillende goocheltrucs, zo ook in de onderstaande truc:

Ik heb deze truc ook al een aantal keren live gezien, en een groot deel van het publiek geeft het foute antwoord.

De truc is simpel, omdat je zo in de duizendtallen zit, heeft iedereen de neiging om de tien tientallen in te wisselen voor een duizendtal. Daarmee kan het een mooie intro zijn voor het optellen van natuurlijke getallen; het maakt de kinderen bewust van de waarde van de verschillende posities in het getal.

De factor tijd in grafieken

tijd

We bekijken graag hoe een bepaald fenomeen zich ontwikkelt in de tijd. Niet voor niets staat de tijd vaak op de x-as van grafieken. Maar . . . dan houd je nog maar één as over!

Dat betekent al gauw dat je, wanneer je de relatie tussen variabelen over de tijd wilt bekijken, verschillende grafieken naast elkaar moet zetten of op de y-as een ratio moet neerzetten.

Hans Rosling laat in zijn TED lezing zien dat het ook anders kan. Rosling geeft college als hoogleraar Intenational Health en ontdekt dat zijn studenten diepgewortelde vooroordelen over de derde wereld hebben. Eén van de vooroordelen is dat mensen in de westerse wereld lang leven en kleine gezinnen hebben, en mensen in de derde wereld kort leven en grote gezinnen hebben. Twee variabelen dus: het gemiddelde aantal kinderen per gezin én de levensverwachting. In een standaard spreidingsdiagram met deze twee variabelen op de assen plot hij de beschikbare data voor het jaar 1962. Normaal gesproken zou je daar dan eenzelfde diagram voor het jaar 2015 naast kunnen zetten, maar Rosling doet iets anders. Hij laat de data door de tijd heen bewegen. Je ziet een animatie waarbij de bollen die de landen voorstellen zich bewegen door het diagram. Het is nu niet alleen mogelijk om de situatie nu te vergelijken met die in 1962. Dit geeft je ook een beeld van hoe de situatie zich nu ontwikkeld heeft door de tijd heen. Rosling geeft die ontwikkeling betekenis door trends te duiden, zoals het promoten van voorbehoedsmiddelen in de Arabische wereld en HIV in Afrika.

Kortom, dit voorbeeld laat zien dat er eindeloos veel nieuwe mogelijkheden zijn om data weer te geven. Dit zie je ook terug in de ontwikkeling van infographics. Het zal dus niet blijven bij de klassieke soorten grafieken en diagrammen die we nu nog exclusief in het wiskundeonderwijs behandelen.

Hexaflexagon en andere vouwsels

flexa

Een papier heeft twee kanten, en toch lijkt de hexaflexagon hierboven er 3 te hebben. In ieder geval kun je door te vouwen 3 verschillende afbeeldingen maken.

Een hexaflexagon is eenvoudig te maken. Je hebt alleen een strook van 10 gelijkzijdige driehoeken nodig, die je op de juiste manier in elkaar moet vouwen. De zoekterm levert op google templates en instructies op. Het filmpje van Vi Hart is misschien niet de beste instructie om de hexaflexagon te maken, maar wel erg leuk om te laten zien.

Dit soort figuren vind ik altijd iets magisch hebben. Ik weet nog steeds dat we bij tekenen op de middelbare school zelf de bouwplaat voor de bekende kaleidocycle moesten tekenen en deze vervolgens mochten kleuren. Een uitstekende toepassing voor de constructie van gelijkzijdige driehoeken!

Nu zijn dit niet de enige wiskundig getinte vouwsels. Op mijn pinterest pagina heb ik er daarom een bord voor aangemaakt. En al zoekend kwam ik op de site van Florine Meijer: Wisknutsels. Hier vind je nog meer inspiratie.

De krant en gedachtenlezen

Wat kunnen wiskunde en magie toch mooi samen gaan.

Het programma “de magische winkel” op de publieke omroep laat daar vaak mooie voorbeelden van zien.

Zo ook een truc met een krant:

  • Je vouwt de krant open en je knipt de hoekjes met de pagina nummers van de krant af.
  • Je legt die twee stapeltjes met hoekjes neer
  • Dan laat je iemand uit het publiek 2 hoekjes kiezen. Dat doe je door telkens de bovenste twee hoekjes (van elk stapeltje één) te laten zien en te vragen of die het moeten worden.
  • Op elk hoekje staan 2 nummers. Laat de proefpersoon de 4 nummers optellen: hij krijgt dan een getal dat je gaat gebruiken als paginanummer.
  • Je doet een blinddoek om  en laat de persoon in een boek dat je mee hebt gebracht de pagina van de som opzoeken.
  • Je vraagt de persoon heel goed aan die pagina te denken en dan begin je precies te beschrijven wat er op die pagina staat.

Het lijkt me een mooie start van de les. Bijvoorbeeld wanneer je het over compenseren, of sommen met dezelfde uitkomst wilt hebben.

Ik ben erg benieuwd naar jullie ervaringen, dus als je het hebt uitgeprobeerd dan hoor ik hieronder graag hoe het is gegaan.

Vermenigvuldigen met lijnen

Via social media probeer ik het reken- en wiskundeonderwijs in andere landen te volgen. Er zijn zoveel docenten actief op bijvoorbeeld pinterest, dat je op deze manier een aardig beeld krijgt van wat ze bezig houdt.

Zo kom ik ook bij golfbeweging het vermenigvuldigen met lijnen tegen; ook wel ‘Mayan multiplication‘ genoemd.

In het kort doe je het volgende:

Als je 21 x 23 uit wilt rekenen, teken je eerst de lijnen die 21 en 23 representeren.
Voor 21 in het voorbeeld teken je 2 zwarte lijnen en daarnaast 1 zwarte lijn; je werkt dus van links naar rechts.
Dan teken je voor 23 de rode lijnen; eerst twee en dan 3; weer van links naar rechts.
Vervolgens ga je snijpunten tellen en zo kom je op het antwoord 483.

Meestal wordt in de filmpjes de methode bejubeld omdat het zoveel makkelijker is om op deze manier te vermenigvuldigen. Wat ik zelf interessant aan deze methode vindt is dat het verder gaat dan zomaar een trucje. Om die reden heb ik hem gebruikt in een les.

Aan het begin van deze les, waarin we bezig waren met het wegwerken van haakjes liet ik een instructiefilmpje over de methode zien. Daarna daagde ik de leerlingen uit of ze me uit konden leggen hoe het werkte.

Veel leerlingen waren door het probleem gegrepen. Er waren echter opvallende verschillen. Een deel van de leerlingen ging me laten zien hoe ik dat met andere getallen kon doen, dus voorbeelden geven van de procedure. Een deel ging onderzoeken hoe je te werk moest gaan in moeilijkere gevallen. Bijvoorbeeld, als er een nul in de te vermenigvuldigen getallen stond, als je met grotere getallen werkt of als het aantal snijpunten in een ‘kolom’ groter is dan 9. Deze leerlingen die vooral op het algoritme gefocust waren daagde ik verder uit om me uit te leggen waarom  je de snijpunten op deze manier moest optellen. Tot slot was er een groep leerlingen die zelf al naar het waarom zocht. Ze kwamen al met een echt (informeel) bewijs.

Een geslaagd experiment dus wat mij betreft. Het was een mooie toepassing van de stof waar de leerlingen aan werkten. De leerlingen werden gedwongen weer even na te denken over de structuur van ons talstelsel en dat bracht verdieping in de stof van die dag. Ik was blij verrast hoeveel leerlingen (ook leerlingen die over het algemeen geen hoge cijfers voor wiskunde haalden) tot een oplossing kwamen. En tot slot vond ik het een mooie kans om leerlingen intuïtief met wiskundig bewijzen kennis te laten maken.

Negen vingers

Met de tafel van 9 is iets bijzonders aan de hand.

9 in 100

Tel je de cijfers van de 9-vouden op, dan is de som ook een 9-voud.

81 is een veelvoud van 9, 8 + 1 = 9 is ook een veelvoud van 9.

Heel informeel kun je zeggen dat als je ergens 9 bij optelt, je er ook voor kunt kiezen om er 10 bij op te tellen en er dan weer 1 vanaf te halen. Of te wel: het tiental gaat 1 omhoog en de eenheid 1 omlaag. Samen blijft het evenveel. Beginnend bij 9 is dat totaal dus altijd 9. Dit gaat in ieder geval op tot 90, voor hogere getallen moet je nog even wat verder redeneren.

Iets formeler  kun je een getal ab schrijven als:
ab = 10a + b = 9a + a + b

9a is zeker deelbaar door 9, dus je houdt a + b over.

Dit vormt de achtergrond van een op internet inmiddels bekende ‘truc’ voor het uitrekenen van de tafel van 9.