Het verhaal achter de rekenposters

Voor mijn opdrachtgever Studyflow mocht ik meewerken aan een bijzonder project: rekenposters. Een serie posters waarin je elke keer opnieuw kunt ronddwalen en op ontdekking kunt gaan. En posters vol humor.

Voor elk van de 12 onderwerpen die wij in ons rekenprogramma gebruiken zal een een poster worden ontwikkelt die een overzicht geeft van de stof binnen dat onderwerp. De onderwerpen zijn een verfijning van de 4 domeinen die we kennen uit de referentieniveaus. We zijn begonnen met de posters binnen het domein meten: tijd, metriek stelsel en meetkunde.

In Eliane Gerrits werd een geweldige cartoonist voor dit project gevonden. Zij tekende een wereld vol details, waar ik ook zelfs na de vele nakijkrondes, nog steeds nieuwe dingen in ontdek. De posters zijn zo gemaakt dat leerlingen er eenvoudig een foto van kunnen nemen. Op deze manier kunnen ze er telkens weer even naar kijken. Juist die herhaling in combinatie met humor in plaats van alleen een overzicht van de stof vinden wij een mooie aanvulling op de gebruikelijke samenvattingen.

In elk van de posters zit een verhaal, zoals ook bij ‘tijd’. Maatverfijning is bij het leren klokkijken en rekenen met tijd een van de big ideas waar leerlingen mee te maken krijgen: één wijzer is voldoende, maar we hebben een tweede en een derde wijzer om de tijd met meer precisie af te kunnen lezen. (Dit in tegenstelling tot de gedachte dat de kleine wijzer voor de uren is en de grote voor de minuten.) Ook wanneer je bijvoorbeeld snelheden om moet rekenen, heb je dit idee van maatverfijning en het wisselen van eenheid nodig.

Maatverfijning is in de poster vertaald in de weg die van het verleden naar het heden loopt, en waar de wereld steeds meer haast lijkt te krijgen en alles steeds nauwkeuriger moet.

Verder zijn de in  poster heel veel digitale en analoge klokken verstopt. Helaas hoor ik van veel docenten in met name het MBO dat er een te grote groep leerlingen is die moeite heeft met klokkijken. Op een bepaalde leeftijd proberen ze dat te verbergen. In de poster hebben we de klokken dan ook verspreid, zodat deze leerlingen ongemerkt toch ook hier kennis op kunnen doen.

En uiteraard komen ook de kalender en het rekenen met snelheid aan de orde.

Puzzel

Inmiddels al bij een aantal gelegenheden heb ik mijn publiek een puzzel voorgelegd dat ik ooit in de vakdidactische literatuur vond.

getrouwd

De opgave

In een dorp is 2/3 deel van de vrouwen getrouwd en 3/4 deel van de mannen. Welk deel van de bevolking is getrouwd?

note: de puzzel heeft een oorsprong in een land waar op dat moment homohuwelijken nog niet waren toegestaan. Je mag er dus vanuit gaan dat er alleen huwelijken tussen man en vrouw zijn.

De oplossing

Het mooie van deze opgave vind ik dat het op heel verschillende manieren op te lossen is; algebraïsch, met het zoeken naar een getallenvoorbeeld maar ook visueel. Hieronder vind je een visuele oplossing.

Je kunt de situatie in de puzzel op de volgende manier tekenen:

model

De bovenste strook stelt de vrouwen in het dorp voor. De onderste strook de mannen. 2/3 deel van de vrouwen is in aantal evenveel als 3/4 van de mannen.

Om te kunnen bepalen welk deel van de gehele bevolking getrouwd is moet een ondermaat gekozen worden, waardoor alle stukken even groot worden. Dat kunnen we doen door van het getrouwde deel 6 even grote stukken te maken.

oplossing

Je verdeelt de stroken dan in kleinere gelijke delen:

2/3 = 6/9 en 3/4 = 6/8

In totaal 12/17 deel van de inwoners van dit dorp getrouwd.

Deze oplossing laat zien dat wanneer je precies tekent wat de situatie in de puzzel is, en je het basisprincipe van breuken begrijpt, deze puzzel ook door basisschoolleerlingen (samen) goed op te lossen is.

Nieuwjaarswens 2017

nieuwjaar-2017

Een ander perspectief; als basis om iets of iemand echt te kunnen begrijpen. Ik vind het een mooie gedachte die Roger Antonsen in zijn TED lezing aan ons voorlegt. Een concept van meerdere kanten leren bekijken is wat mij betreft een belangrijke kern in het onderwijs van nu en de toekomst.

Zo laat het spelen met de bee-bot bijvoorbeeld al zien dat je in allerlei situaties een perspectief wissel nodig hebt. Het meisje op deze foto werd gevraagd de bee-bot een vierkantje te laten lopen. Om dat te kunnen moet je je eigen ‘vaste’ perspectief loslaten en het ‘relatieve’ perspectief van de bee-bot aannemen. Een vierkantje is voor de bee-bot niet een stap naar voren, een stap naar rechts, een stap naar achter en weer een stap naar links, zoals je dat van bovenaf zou zien. Voor de bee-bot is het een stap naar voren, een draai naar rechts, een stap naar voren, een draai naar rechts, ….
Perspectieven en perspectief wisselingen zijn overal in de verschillende vakgebieden te vinden; macro, meso, micro denken (scheikunde), wisselen tussen denkmodellen (natuurkunde) of ambiguïteit (wiskunde). Die (andere) perspectieven kunnen we van elkaar leren en ze brengen ons op die manier bij de essentie van de vakgebieden.

Niet alleen in het onderwijs, maar ook in onze maatschappij is er veel van een ander te leren. Afgelopen jaar heeft laten zien dat het steeds moeilijker wordt om in een tijd waar de filter bubble zo’n grote invloed heeft dat andere perspectief nog te ontmoeten.

Voor 2017 wens ik je dan ook vele mooie en ongewone ontmoetingen vol andere perspectieven en nieuwe inzichten!

Geeke

 

Een kwestie van perspectief

Meerdere perspectieven in kunnen nemen als voorwaarde om iets echt te kunnen gaan begrijpen. Roger Antonsen noemt het in zijn TED lezing het geheim van de wiskunde.

In deze blog wil ik een van zijn uitspraken eens nader bekijken:

“…. this is an equation. It says that something is equal to something else. And that is two different perspectives.”

Op deze manier naar vergelijkingen kijken kan een mooie manier zijn om ambiguïteit op te sporen. Om er betekenis aan te geven, en daarmee het begrip van leerlingen te vergroten.

Zelf gebruikt Antonsen het voorbeeld x + x = 2x. 
Wat mij betreft zit de kracht van zijn opmerking ook al in minder abstracte onderwerpen.

Bijvoorbeeld 5 + 5 + 5 = 3 x 5:

3keer5

Hierin is een mooie perspectief wissel te zien van losse groepjes naar een rechthoek structuur die een eerste voorloper is van het oppervlakte begrip.

Van daaruit kom je al vrij eenvoudig op de volgende perspectiefwissel: 3 x 5 = 5 x 3

omdraaien

Het aardige van dit voorbeeld is dat er meerdere perspectieven zijn om tegen dit = teken aan te kijken. De eerste is weergegeven in het plaatje en heeft te maken met de twee kijkrichtingen die je kunt kiezen bij een rechthoek. Maar er is ook nog een andere mogelijkheid. We leren kinderen aan dat 5 x 3 betekent dat je vijf keer een hoeveelheid van 3 hebt. Daar maak je in de tekening hierboven ook gebruik van. Het interessante is dat in andere landen ook die duidelijke enkelvoudige betekenis van het keerteken als didactiek is gekozen, maar dat ze de betekenis net andersom leggen. 5 x 3 betekent dan dat je de hoeveelheid 5 drie keer hebt. Je begint met 5 en dat neem je 3 keer. Als je de klemtoon bij het uitspreken van 5 x 3 anders legt dan voel je dat verschil als het ware vanzelf. Ook dit is een mogelijke invalshoek om de twee perspectieven in 3 x 5 = 5 x 3 met elkaar te verbinden.

Als laatste wil ik een iets ingewikkelder concept als voorbeeld geven: ¾ = 3 ÷ 4.

breukenperspectief

Hoe verenig je het perspectief van ¾ als een deel van een geheel met het perspectief van 3 eenheden die je over 4 personen wilt verdelen?

Een mogelijkheid die voor de hand ligt is om de 3 eenheden over 4 personen te verdelen door de 3 helen elk in 4 gelijke stukken te verdelen. Je geeft dan iedere persoon één stukje van elke hele. In totaal krijgt ieder dan 3 stukjes van ¼. Leg je deze aan elkaar dan is dat ¾ per persoon.

De voorbeelden laten zien hoe het = teken aangegrepen kan worden om het verband tussen verschillende perspectieven expliciet en concreet te maken. Ik hoop dat ze de meerwaarde daarvan hebben laten zien. Het zien van meerdere perspectieven en ze zelfs te laten versmelten tot één ambigu concept is wat mij betreft de kracht en schoonheid van wiskunde, maar ook wat het soms een lastig vak maakt. Het expliciet maken van die ambiguïteiten is wat mij betreft een belangrijke stap naar wiskundig begrip.

Ik ben erg benieuwd naar jullie voorbeelden.

Workshop – Breuken, back to basics!

Morgen zal ik een workshop geven op de conferentie Rekenen-Wiskunde in de aansluiting van PO naar VMBO.

Onder de titel “Breuken, back to basics” zal ik het volgens het programmaboekje over het volgende gaan hebben:

‘Breuken zijn maar lastig’, hoor je menig leraar in het basisonderwijs en in het voortgezet onderwijs verzuchten. Lastig voor leerlingen, maar ook lastig om kinderen hierbij te helpen. ‘Leerlingen snappen het vaak niet, alles is heel snel formeel en wat hebben ze er eigenlijk aan? Maar in de referentieniveaus 1S en 1F en 2F staat dat kinderen ‘breuken wel moeten beheersen’.’

Herkent u zich in deze teksten? Dan nodigen we u graag uit bij deze workshop. We beweren namelijk, en zullen het ook met u bekijken, dat breuken echt niet zo lastig hoeven zijn voor kinderen en dat, door langer bezig te zijn op informeel niveau binnen betekenisvolle situaties, ook leerlingen die naar het vmbo gaan de belangrijkste essenties van het domein breuken (en wat er mee verwant is) kunnen leren begrijpen en toepassen. En als ze niet álles kunnen wat de referentieniveaus vragen, wat betekent dat dan? We bekijken de leerlijn breuken en in het verlengde leggen we relaties met procenten en verhoudingen. We bespreken hoe je met kinderen in po en in het vmbo met breuken aan de slag kunt én besteden met name ook aandacht aan de overgang van po naar vmbo: hoe kan de aansluiting voor leerling en leraren soepel(er) verlopen?

 

Om te zien waar de doorgaande leerlijn uitkomt, zullen we ook eindexamenopgaven bekijken. Het blad met die opgaven vind je hier:

bijlage-workshop-breuken-back-to-basics

Inspirerend reken- & wiskundeonderwijs